Номер 31.17, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.17. Представьте в виде произведения:

1) $m^2 - n^2 - m + n;$

2) $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y;$

3) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12;$

4) $81 - (3 - 8y)^2;$

5) $(x + 5)^2 - 16;$

6) $36 - (y + 1)^2;$

7) $(3x - 7)^2 - 25;$

8) $(4 - 5x)^2 - 64.$

1) Для разложения на множители выражения $m^2 - n^2 - m + n$ применим метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемыми. Первую группу разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а из второй вынесем общий множитель.

$m^2 - n^2 - m + n = (m^2 - n^2) - (m - n) = (m - n)(m + n) - 1 \cdot (m - n)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m + n - 1)$

Ответ: $(m - n)(m + n - 1)$

2) Для разложения на множители выражения $9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два. Первую группу разложим по формуле разности квадратов.

$9x^2 - 4y^2 - 3x + 2y = (9x^2 - 4y^2) - (3x - 2y) = ((3x)^2 - (2y)^2) - (3x - 2y) = (3x - 2y)(3x + 2y) - 1 \cdot (3x - 2y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(3x - 2y)$:

$(3x - 2y)(3x + 2y - 1)$

Ответ: $(3x - 2y)(3x + 2y - 1)$

3) Для разложения на множители выражения $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые и вынесем общие множители из каждой группы.

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = x^2(x + 3) - 4(x + 3)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x + 3)$:

$(x + 3)(x^2 - 4)$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, разложим его на множители:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x + 3)(x - 2)(x + 2)$

4) Выражение $81 - (3 - 8y)^2$ представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a=9$ и $b=3-8y$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$81 - (3 - 8y)^2 = 9^2 - (3 - 8y)^2 = (9 - (3 - 8y))(9 + (3 - 8y))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим:

$(9 - 3 + 8y)(9 + 3 - 8y) = (6 + 8y)(12 - 8y)$

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2$ из первой и $4$ из второй.

$2(3 + 4y) \cdot 4(3 - 2y) = 8(3 + 4y)(3 - 2y)$

Ответ: $8(3 + 4y)(3 - 2y)$

5) Выражение $(x + 5)^2 - 16$ является разностью квадратов, так как $16=4^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x+5$ и $b=4$.

$(x + 5)^2 - 4^2 = ((x + 5) - 4)((x + 5) + 4)$

Упростим выражения в скобках:

$(x + 5 - 4)(x + 5 + 4) = (x + 1)(x + 9)$

Ответ: $(x + 1)(x + 9)$

6) Выражение $36 - (y + 1)^2$ является разностью квадратов, так как $36=6^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=6$ и $b=y+1$.

$6^2 - (y + 1)^2 = (6 - (y + 1))(6 + (y + 1))$

Упростим выражения в скобках:

$(6 - y - 1)(6 + y + 1) = (5 - y)(y + 7)$

Ответ: $(5 - y)(y + 7)$

7) Выражение $(3x - 7)^2 - 25$ является разностью квадратов, так как $25=5^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3x-7$ и $b=5$.

$(3x - 7)^2 - 5^2 = ((3x - 7) - 5)((3x - 7) + 5)$

Упростим выражения в скобках:

$(3x - 7 - 5)(3x - 7 + 5) = (3x - 12)(3x - 2)$

Из первого множителя можно вынести общий множитель $3$:

$3(x - 4)(3x - 2)$

Ответ: $3(x - 4)(3x - 2)$

8) Выражение $(4 - 5x)^2 - 64$ является разностью квадратов, так как $64=8^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=4-5x$ и $b=8$.

$(4 - 5x)^2 - 8^2 = ((4 - 5x) - 8)((4 - 5x) + 8)$

Упростим выражения в скобках:

$(4 - 5x - 8)(4 - 5x + 8) = (-5x - 4)(12 - 5x)$

Вынесем знак минус из каждой скобки:

$(-1)(5x + 4) \cdot (-1)(5x - 12) = (5x + 4)(5x - 12)$

Ответ: $(5x + 4)(5x - 12)$