Номер 31.13, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.13. 1) $(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)$;

2) $(1\frac{4}{7}x^5 - z^2)(1\frac{4}{5}x^5 + z^2)$;

3) $(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n)$;

4) $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(2\frac{1}{3}n^5 + m^6)$.

1) Исходное выражение: $(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)$.

Это выражение является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используется формула разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В данном случае, $x = \frac{1}{3}a$ и $y = \frac{1}{2}b$.

Применим формулу:

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b) = (\frac{1}{3}a)^2 - (\frac{1}{2}b)^2$

Возведем каждый член в квадрат:

$(\frac{1}{3}a)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{9}a^2$

$(\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot b^2 = \frac{1}{4}b^2$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2$.

2) Исходное выражение: $(1\frac{4}{7}x^5 - z^2)(1\frac{4}{5}x^5 + z^2)$.

В этом выражении первые члены в скобках различны ($1\frac{4}{7}x^5$ и $1\frac{4}{5}x^5$), поэтому формула разности квадратов здесь не применима. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$1\frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Выражение принимает вид: $(\frac{11}{7}x^5 - z^2)(\frac{9}{5}x^5 + z^2)$.

Выполним умножение:

$(\frac{11}{7}x^5)(\frac{9}{5}x^5) + (\frac{11}{7}x^5)(z^2) - (z^2)(\frac{9}{5}x^5) - (z^2)(z^2)$

Вычислим каждое слагаемое:

$\frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 5}x^{5+5} + \frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 - z^{2+2} = \frac{99}{35}x^{10} + \frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 - z^4$

Приведем подобные слагаемые с $x^5z^2$, найдя общий знаменатель для дробей $\frac{11}{7}$ и $\frac{9}{5}$, который равен 35:

$\frac{11}{7}x^5z^2 - \frac{9}{5}x^5z^2 = (\frac{11 \cdot 5}{35} - \frac{9 \cdot 7}{35})x^5z^2 = (\frac{55 - 63}{35})x^5z^2 = -\frac{8}{35}x^5z^2$

Объединим все члены:

$\frac{99}{35}x^{10} - \frac{8}{35}x^5z^2 - z^4$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{99}{35}$ в смешанную: $99 \div 35 = 2$ (остаток $29$), то есть $2\frac{29}{35}$.

Ответ: $2\frac{29}{35}x^{10} - \frac{8}{35}x^5z^2 - z^4$.

3) Исходное выражение: $(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n)$.

Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений и вычисляется по формуле разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = \frac{2}{3}m$ и $y = \frac{3}{4}n$.

Применим формулу:

$(\frac{2}{3}m + \frac{3}{4}n)(\frac{2}{3}m - \frac{3}{4}n) = (\frac{2}{3}m)^2 - (\frac{3}{4}n)^2$

Возведем в квадрат каждый член:

$(\frac{2}{3}m)^2 = \frac{4}{9}m^2$

$(\frac{3}{4}n)^2 = \frac{9}{16}n^2$

Таким образом, результат:

$\frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$

Ответ: $\frac{4}{9}m^2 - \frac{9}{16}n^2$.

4) Исходное выражение: $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(2\frac{1}{3}n^5 + m^6)$.

Воспользуемся переместительным свойством сложения во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду для формулы разности квадратов: $(2\frac{1}{3}n^5 + m^6) = (m^6 + 2\frac{1}{3}n^5)$.

Теперь выражение имеет вид: $(m^6 - 2\frac{1}{3}n^5)(m^6 + 2\frac{1}{3}n^5)$.

Это формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = m^6$ и $y = 2\frac{1}{3}n^5$.

Применим формулу:

$(m^6)^2 - (2\frac{1}{3}n^5)^2$

Возведем в квадрат первый член:

$(m^6)^2 = m^{6 \cdot 2} = m^{12}$

Для второго члена сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь возведем второй член в квадрат:

$( \frac{7}{3}n^5 )^2 = (\frac{7}{3})^2 \cdot (n^5)^2 = \frac{49}{9}n^{5 \cdot 2} = \frac{49}{9}n^{10}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{49}{9}$ обратно в смешанную: $49 \div 9 = 5$ (остаток $4$), то есть $5\frac{4}{9}$.

Запишем конечный результат:

$m^{12} - 5\frac{4}{9}n^{10}$

Ответ: $m^{12} - 5\frac{4}{9}n^{10}$.