Номер 31.7, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.7. Упростите выражение:

1) $(5 + b)(b - 5) - b^2;$

2) $c^2 + (9 - c)(9 + c);$

3) $(\frac{1}{3} - z)(\frac{1}{3} + z) - \frac{1}{9};$

4) $-\frac{16}{49} + (\frac{4}{7} - d)(d + \frac{4}{7});$

5) $(0.9 - a)(a + 0.9) - a(1 + a);$

6) $k(5 - k) + (1.2 + k)(k - 1.2).$

1) Чтобы упростить выражение $(5+b)(b-5) - b^2$, сначала раскроем скобки. Произведение $(5+b)(b-5)$ является разностью квадратов. Для удобства применения формулы $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ переставим слагаемые в первой скобке и множители местами: $(b+5)(b-5) = b^2 - 5^2 = b^2 - 25$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(b^2 - 25) - b^2 = b^2 - 25 - b^2 = -25$.
Ответ: $-25$.

2) В выражении $c^2 + (9-c)(9+c)$ произведение $(9-c)(9+c)$ является разностью квадратов. Применим формулу $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$(9-c)(9+c) = 9^2 - c^2 = 81 - c^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$c^2 + (81 - c^2) = c^2 + 81 - c^2 = 81$.
Ответ: $81$.

3) В выражении $(\frac{1}{3} - z)(\frac{1}{3} + z) - \frac{1}{9}$ произведение $(\frac{1}{3} - z)(\frac{1}{3} + z)$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$(\frac{1}{3} - z)(\frac{1}{3} + z) = (\frac{1}{3})^2 - z^2 = \frac{1}{9} - z^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{9} - z^2) - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - z^2 - \frac{1}{9} = -z^2$.
Ответ: $-z^2$.

4) В выражении $-\frac{16}{49} + (\frac{4}{7} - d)(d + \frac{4}{7})$ произведение $(\frac{4}{7} - d)(d + \frac{4}{7})$ можно записать как $(\frac{4}{7} - d)(\frac{4}{7} + d)$, что является разностью квадратов:
$(\frac{4}{7})^2 - d^2 = \frac{16}{49} - d^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$-\frac{16}{49} + (\frac{16}{49} - d^2) = -\frac{16}{49} + \frac{16}{49} - d^2 = -d^2$.
Ответ: $-d^2$.

5) Упростим выражение $(0,9 - a)(a + 0,9) - a(1 + a)$.
Первая часть $(0,9 - a)(a + 0,9)$ является разностью квадратов. Запишем ее как $(0,9 - a)(0,9 + a) = 0,9^2 - a^2 = 0,81 - a^2$.
Вторая часть $-a(1+a)$, раскроем скобки: $-a \cdot 1 - a \cdot a = -a - a^2$.
Теперь объединим обе части:
$(0,81 - a^2) + (-a - a^2) = 0,81 - a^2 - a - a^2 = 0,81 - a - 2a^2$.
Ответ: $0,81 - a - 2a^2$.

6) Упростим выражение $k(5-k) + (1,2+k)(k-1,2)$.
Раскроем скобки в первой части: $k(5-k) = 5k - k^2$.
Вторая часть $(1,2+k)(k-1,2)$ является разностью квадратов. Переставим слагаемые: $(k+1,2)(k-1,2) = k^2 - 1,2^2 = k^2 - 1,44$.
Сложим обе части:
$(5k - k^2) + (k^2 - 1,44) = 5k - k^2 + k^2 - 1,44 = 5k - 1,44$.
Ответ: $5k - 1,44$.