Номер 31.11, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.11. Докажите тождество:

1)

$(x - 1.6)(1.6 + x) + 5 - x^2 = 2.44;$

2)

$(2 - 0.9x)(0.9x + 2) - 10 + 0.81x^2 = -6;$

3)

$(x - 1.5)(1.5 + x) + (6 - x)(6 + x) = 33.75;$

4)

$(2.1 - x)(x + 2.1) - (5 - x)(x + 5) = -20.59.$

1) Чтобы доказать тождество $(x - 1,6)(1,6 + x) + 5 - x^2 = 2,44$, преобразуем его левую часть.
В произведении $(x - 1,6)(1,6 + x)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы получить вид, удобный для применения формулы разности квадратов: $(x - 1,6)(x + 1,6)$.
Используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x$ и $b = 1,6$.
$(x - 1,6)(x + 1,6) = x^2 - (1,6)^2 = x^2 - 2,56$.
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного уравнения:
$x^2 - 2,56 + 5 - x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (5 - 2,56) = 0 + 2,44 = 2,44$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой: $2,44 = 2,44$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(2 - 0,9x)(0,9x + 2) - 10 + 0,81x^2 = -6$, преобразуем его левую часть.
В произведении $(2 - 0,9x)(0,9x + 2)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(2 - 0,9x)(2 + 0,9x)$.
Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2$ и $b = 0,9x$.
$(2 - 0,9x)(2 + 0,9x) = 2^2 - (0,9x)^2 = 4 - 0,81x^2$.
Подставим результат в левую часть исходного уравнения:
$4 - 0,81x^2 - 10 + 0,81x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4 - 10) + (-0,81x^2 + 0,81x^2) = -6 + 0 = -6$.
Левая часть равна правой: $-6 = -6$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $(x - 1,5)(1,5 + x) + (6 - x)(6 + x) = 33,75$, преобразуем его левую часть.
Левая часть является суммой двух произведений. К каждому из них применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Для первого произведения $(x - 1,5)(1,5 + x) = (x - 1,5)(x + 1,5)$:
$x^2 - (1,5)^2 = x^2 - 2,25$.
Для второго произведения $(6 - x)(6 + x)$:
$6^2 - x^2 = 36 - x^2$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(x^2 - 2,25) + (36 - x^2) = x^2 - 2,25 + 36 - x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (36 - 2,25) = 0 + 33,75 = 33,75$.
Левая часть равна правой: $33,75 = 33,75$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $(2,1 - x)(x + 2,1) - (5 - x)(x + 5) = -20,59$, преобразуем его левую часть.
Левая часть является разностью двух произведений. К каждому из них применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Для первого произведения $(2,1 - x)(x + 2,1) = (2,1 - x)(2,1 + x)$:
$(2,1)^2 - x^2 = 4,41 - x^2$.
Для второго произведения $(5 - x)(x + 5) = (5 - x)(5 + x)$:
$5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
Теперь выполним вычитание, раскрыв скобки:
$(4,41 - x^2) - (25 - x^2) = 4,41 - x^2 - 25 + x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4,41 - 25) + (-x^2 + x^2) = -20,59 + 0 = -20,59$.
Левая часть равна правой: $-20,59 = -20,59$.
Ответ: Тождество доказано.