Номер 31.10, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.10. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной a:

1) $(a - 10)(10 + a) + 60 - a^2;$

2) $0.64 + a^2 - (0.5 + a)(a - 0.5);$

3) $(2.4 - a)(a + 2.4) + (1.9 + a)(a - 1.9);$

4) $(17 + a)(17 - a) - (0.6 - a)(a + 0.6).$

1) Для доказательства того, что значение выражения $(a - 10)(10 + a) + 60 - a^2$ не зависит от переменной $a$, упростим его. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$(a - 10)(10 + a) + 60 - a^2 = (a - 10)(a + 10) + 60 - a^2 = (a^2 - 10^2) + 60 - a^2 = a^2 - 100 + 60 - a^2$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (60 - 100) = 0 - 40 = -40$.
Полученное значение -40 является константой и не содержит переменную $a$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от $a$.
Ответ: -40.

2) Упростим выражение $0,64 + a^2 - (0,5 + a)(a - 0,5)$, чтобы доказать, что его значение не зависит от $a$. Применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ к произведению в скобках.
$0,64 + a^2 - (0,5 + a)(a - 0,5) = 0,64 + a^2 - (a + 0,5)(a - 0,5) = 0,64 + a^2 - (a^2 - 0,5^2) = 0,64 + a^2 - (a^2 - 0,25)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$0,64 + a^2 - a^2 + 0,25 = (a^2 - a^2) + (0,64 + 0,25) = 0 + 0,89 = 0,89$.
Полученное значение 0,89 является константой. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от $a$.
Ответ: 0,89.

3) Упростим выражение $(2,4 - a)(a + 2,4) + (1,9 + a)(a - 1,9)$. Для этого дважды применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Первое произведение: $(2,4 - a)(a + 2,4) = (2,4 - a)(2,4 + a) = 2,4^2 - a^2 = 5,76 - a^2$.
Второе произведение: $(1,9 + a)(a - 1,9) = (a + 1,9)(a - 1,9) = a^2 - 1,9^2 = a^2 - 3,61$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(5,76 - a^2) + (a^2 - 3,61) = 5,76 - a^2 + a^2 - 3,61$.
Приведем подобные слагаемые:
$5,76 - 3,61 + (-a^2 + a^2) = 2,15 + 0 = 2,15$.
Полученное значение 2,15 является константой. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от $a$.
Ответ: 2,15.

4) Упростим выражение $(17 + a)(17 - a) - (0,6 - a)(a + 0,6)$. Для этого дважды применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
Первое произведение: $(17 + a)(17 - a) = 17^2 - a^2 = 289 - a^2$.
Второе произведение: $(0,6 - a)(a + 0,6) = (0,6 - a)(0,6 + a) = 0,6^2 - a^2 = 0,36 - a^2$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(289 - a^2) - (0,36 - a^2) = 289 - a^2 - 0,36 + a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$289 - 0,36 + (-a^2 + a^2) = 288,64 + 0 = 288,64$.
Полученное значение 288,64 является константой. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от $a$.
Ответ: 288,64.