Номер 31.8, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.8. Найдите значение выражения:

1) $(7+d)(d-7) + (d+3)(3-d) + 40(d+1)$ при $d=0,5;$

2) $x(2x-1) - (6+x)(x-6) + (x+10)(10-x)$ при $x=-101;$

3) $1,2(b+1,2) + (0,5-b)(b+0,5) - (b+1,3)(1,3-b)$ при $b = -\frac{5}{6};$

4) $(1,5+c)(c-1,5) - (c+8)(c-8) - 2,5(c-24,5)$ при $c = \frac{2}{3}.$

1) Сначала упростим выражение $(7+d)(d-7) + (d+3)(3-d) + 40(d+1)$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и раскроем скобки.
Первое слагаемое: $(7+d)(d-7) = (d+7)(d-7) = d^2 - 7^2 = d^2 - 49$.
Второе слагаемое: $(d+3)(3-d) = (3+d)(3-d) = 3^2 - d^2 = 9 - d^2$.
Третье слагаемое: $40(d+1) = 40d + 40$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(d^2 - 49) + (9 - d^2) + (40d + 40) = d^2 - 49 + 9 - d^2 + 40d + 40$.
Приведем подобные члены:
$(d^2 - d^2) + 40d + (-49 + 9 + 40) = 0 + 40d + 0 = 40d$.
Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $d = 0,5$:
$40d = 40 \cdot 0,5 = 20$.
Ответ: 20.

2) Упростим выражение $x(2x-1) - (6+x)(x-6) + (x+10)(10-x)$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом. Для второго и третьего слагаемых применим формулу разности квадратов.
Первое слагаемое: $x(2x-1) = 2x^2 - x$.
Второе слагаемое: $-(6+x)(x-6) = -(x+6)(x-6) = -(x^2 - 6^2) = -(x^2 - 36) = -x^2 + 36$.
Третье слагаемое: $(x+10)(10-x) = (10+x)(10-x) = 10^2 - x^2 = 100 - x^2$.
Сложим полученные выражения:
$(2x^2 - x) + (-x^2 + 36) + (100 - x^2) = 2x^2 - x - x^2 + 36 + 100 - x^2$.
Приведем подобные члены:
$(2x^2 - x^2 - x^2) - x + (36 + 100) = 0 - x + 136 = 136 - x$.
Подставим в упрощенное выражение значение $x = -101$:
$136 - x = 136 - (-101) = 136 + 101 = 237$.
Ответ: 237.

3) Упростим выражение $1,2(b+1,2) + (0,5-b)(b+0,5) - (b+1,3)(1,3-b)$.
Раскроем скобки и используем формулу разности квадратов.
$1,2(b+1,2) = 1,2b + 1,2 \cdot 1,2 = 1,2b + 1,44$.
$(0,5-b)(b+0,5) = (0,5-b)(0,5+b) = 0,5^2 - b^2 = 0,25 - b^2$.
$-(b+1,3)(1,3-b) = -(1,3+b)(1,3-b) = -(1,3^2 - b^2) = -(1,69 - b^2) = -1,69 + b^2$.
Сложим полученные выражения:
$(1,2b + 1,44) + (0,25 - b^2) + (-1,69 + b^2) = 1,2b + 1,44 + 0,25 - b^2 - 1,69 + b^2$.
Приведем подобные члены:
$1,2b + (-b^2 + b^2) + (1,44 + 0,25 - 1,69) = 1,2b + 0 + (1,69 - 1,69) = 1,2b$.
Подставим в упрощенное выражение значение $b = -\frac{5}{6}$. Для удобства вычислений представим $1,2$ в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$1,2b = \frac{6}{5} \cdot (-\frac{5}{6}) = -1$.
Ответ: -1.

4) Упростим выражение $(1,5+c)(c-1,5) - (c+8)(c-8) - 2,5(c-24,5)$.
Используем формулу разности квадратов и раскроем скобки.
$(1,5+c)(c-1,5) = (c+1,5)(c-1,5) = c^2 - 1,5^2 = c^2 - 2,25$.
$-(c+8)(c-8) = -(c^2 - 8^2) = -(c^2 - 64) = -c^2 + 64$.
$-2,5(c-24,5) = -2,5c + 2,5 \cdot 24,5 = -2,5c + 61,25$.
Сложим полученные выражения:
$(c^2 - 2,25) + (-c^2 + 64) + (-2,5c + 61,25) = c^2 - 2,25 - c^2 + 64 - 2,5c + 61,25$.
Приведем подобные члены:
$(c^2 - c^2) - 2,5c + (-2,25 + 64 + 61,25) = 0 - 2,5c + 123 = 123 - 2,5c$.
Подставим в упрощенное выражение значение $c = \frac{2}{3}$. Представим $2,5$ в виде дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$.
$123 - 2,5c = 123 - \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} = 123 - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 123 - \frac{5}{3}$.
Приведем к общему знаменателю:
$123 - \frac{5}{3} = \frac{123 \cdot 3}{3} - \frac{5}{3} = \frac{369 - 5}{3} = \frac{364}{3} = 121\frac{1}{3}$.
Ответ: $121\frac{1}{3}$.