Номер 31.22, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.22. Найдите корни уравнений:

1) $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0;$

2) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0;$

3) $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96;$

4) $(\frac{1}{2} - 5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2;$

5) $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13;$

6) $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1.$

1) Дано уравнение $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$.
Отсюда следует, что либо $x = 0$, либо $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Решим второе уравнение, используя метод группировки:
$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$
$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x - 3) = 0$
Разложим первый множитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $0, 1, -1, 3$.
Ответ: $-1, 0, 1, 3$.

2) Дано уравнение $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x^4 - 1)(x - 1) = 0$
Разложим первый множитель $x^4 - 1$ как разность квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
Снова применим формулу разности квадратов для $x^2 - 1$:
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
$(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, у уравнения два действительных корня.
Ответ: $-1, 1$.

3) Дано уравнение $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 - 96$
$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25 - 96$
Упростим правую часть:
$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x - 71$
Сократим $9x^2$ в обеих частях уравнения:
$1 - 6x = 30x - 71$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$1 + 71 = 30x + 6x$
$72 = 36x$
$x = \frac{72}{36}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

4) Дано уравнение $(\frac{1}{2} - 5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5x + (5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 4 + 4^2$
$\frac{1}{4} - 5x + 25x^2 + \frac{3}{4} = 25x^2 - 40x + 16$
Сгруппируем константы в левой части:
$(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$
$1 - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$
Сократим $25x^2$ в обеих частях:
$1 - 5x = -40x + 16$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$40x - 5x = 16 - 1$
$35x = 15$
$x = \frac{15}{35}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{3}{7}$
Ответ: $\frac{3}{7}$.

5) Дано уравнение $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13$.
Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$x^2 + 2x - (x^2 - 3^2) = 13$
$x^2 + 2x - (x^2 - 9) = 13$
$x^2 + 2x - x^2 + 9 = 13$
Сократим $x^2$ и $-x^2$:
$2x + 9 = 13$
$2x = 13 - 9$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $2$.

6) Дано уравнение $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1$.
Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов:
$4x^2 - 4x - ((2x)^2 - 5^2) = 1$
$4x^2 - 4x - (4x^2 - 25) = 1$
$4x^2 - 4x - 4x^2 + 25 = 1$
Сократим $4x^2$ и $-4x^2$:
$-4x + 25 = 1$
$-4x = 1 - 25$
$-4x = -24$
$x = \frac{-24}{-4}$
$x = 6$
Ответ: $6$.