Номер 31.25, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.25. Представьте в виде произведения выражение:

1) $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$,

2) $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$.

1) Чтобы представить выражение $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$ в виде произведения, сначала вынесем за скобки общий множитель $z^{10}$.

$25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10} = z^{10}(25a^4x^2 - 9b^6y^2)$

Выражение в скобках, $25a^4x^2 - 9b^6y^2$, является разностью квадратов. Для его разложения используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в скобках в виде квадрата:

$25a^4x^2 = (5a^2x)^2$

$9b^6y^2 = (3b^3y)^2$

Теперь мы можем применить формулу:

$(5a^2x)^2 - (3b^3y)^2 = (5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:

$z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$

Ответ: $z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$.

2) Для того чтобы представить выражение $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$ в виде произведения, сначала необходимо его упростить. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^4 \cdot a^2b^2 - 4b^6 \cdot a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^6b^2 - 4a^2b^8 - 12a^2b^8$

Складываем подобные члены:

$9a^6b^2 - (4a^2b^8 + 12a^2b^8) = 9a^6b^2 - 16a^2b^8$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $a^2b^2$ из полученного выражения:

$9a^6b^2 - 16a^2b^8 = a^2b^2(9a^4 - 16b^6)$

Выражение в скобках, $9a^4 - 16b^6$, также является разностью квадратов. Снова используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член в скобках в виде квадрата:

$9a^4 = (3a^2)^2$

$16b^6 = (4b^3)^2$

Применяем формулу:

$(3a^2)^2 - (4b^3)^2 = (3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$

В результате получаем окончательное разложение на множители:

$a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$

Ответ: $a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$.