Страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.21. 1) $(a-y)(a+y)(a^2+y^2);$

2) $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1);$

3) $(x-6y^3)^2 \cdot (x+6y^3)^2;$

4) $(8+x^3)(8-x^3) \cdot (64+x^6);$

5) $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y);$

6) $(81a^4+16b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2).$

1) В выражении $(a-y)(a+y)(a^2+y^2)$ сначала применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ к первым двум множителям.
$(a-y)(a+y) = a^2 - y^2$
Теперь выражение принимает вид: $(a^2-y^2)(a^2+y^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ выступает $y^2$:
$(a^2-y^2)(a^2+y^2) = (a^2)^2 - (y^2)^2 = a^4 - y^4$.
Ответ: $a^4 - y^4$

2) В выражении $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1)$ применим формулу разности квадратов к первым двум множителям.
$(7x+1)(7x-1) = (7x)^2 - 1^2 = 49x^2 - 1$.
Теперь выражение выглядит так: $(49x^2-1)(49x^2+1)$.
Это снова разность квадратов, где $a=49x^2$ и $b=1$:
$(49x^2-1)(49x^2+1) = (49x^2)^2 - 1^2 = 49^2x^4 - 1 = 2401x^4 - 1$.
Ответ: $2401x^4 - 1$

3) Для выражения $(x-6y^3)^2 \cdot (x+6y^3)^2$ воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$((x-6y^3)(x+6y^3))^2$
Выражение в скобках является разностью квадратов:
$(x-6y^3)(x+6y^3) = x^2 - (6y^3)^2 = x^2 - 36y^6$.
Теперь нужно возвести результат в квадрат: $(x^2 - 36y^6)^2$.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(x^2)^2 - 2(x^2)(36y^6) + (36y^6)^2 = x^4 - 72x^2y^6 + 1296y^{12}$.
Ответ: $x^4 - 72x^2y^6 + 1296y^{12}$

4) В выражении $(8+x^3)(8-x^3)(64+x^6)$ применим формулу разности квадратов к первым двум множителям.
$(8+x^3)(8-x^3) = 8^2 - (x^3)^2 = 64 - x^6$.
Теперь выражение принимает вид: $(64-x^6)(64+x^6)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(64-x^6)(64+x^6) = 64^2 - (x^6)^2 = 4096 - x^{12}$.
Ответ: $4096 - x^{12}$

5) В выражении $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y)$ изменим порядок множителей для удобства: $(5x+y)(5x-y)(25x^2+y^2)$.
Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:
$(5x+y)(5x-y) = (5x)^2 - y^2 = 25x^2 - y^2$.
Выражение принимает вид: $(25x^2-y^2)(25x^2+y^2)$.
Это снова разность квадратов:
$(25x^2-y^2)(25x^2+y^2) = (25x^2)^2 - (y^2)^2 = 625x^4 - y^4$.
Ответ: $625x^4 - y^4$

6) В выражении $(81a^4+16b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2)$ переставим множители и сгруппируем последние два. Заметим, что $(9b^2+4a^2)$ можно записать как $(4a^2+9b^2)$.
Выражение: $(81a^4+16b^4) \cdot [(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2)]$.
Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках:
$(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2) = (4a^2)^2 - (9b^2)^2 = 16a^4 - 81b^4$.
Теперь исходное выражение равно: $(81a^4+16b^4)(16a^4-81b^4)$.
Так как дальнейшее упрощение с помощью формул сокращенного умножения невозможно, раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(81a^4)(16a^4) + (81a^4)(-81b^4) + (16b^4)(16a^4) + (16b^4)(-81b^4)$
$= 1296a^8 - 6561a^4b^4 + 256a^4b^4 - 1296b^8$
Приведем подобные слагаемые:
$= 1296a^8 + (-6561+256)a^4b^4 - 1296b^8 = 1296a^8 - 6305a^4b^4 - 1296b^8$.
Ответ: $1296a^8 - 6305a^4b^4 - 1296b^8$

31.22. Найдите корни уравнений:

1) $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0;$

2) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0;$

3) $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96;$

4) $(\frac{1}{2} - 5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2;$

5) $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13;$

6) $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1.$

1) Дано уравнение $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$.
Отсюда следует, что либо $x = 0$, либо $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Решим второе уравнение, используя метод группировки:
$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$
$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x - 3) = 0$
Разложим первый множитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $0, 1, -1, 3$.
Ответ: $-1, 0, 1, 3$.

2) Дано уравнение $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x^4 - 1)(x - 1) = 0$
Разложим первый множитель $x^4 - 1$ как разность квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
Снова применим формулу разности квадратов для $x^2 - 1$:
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
$(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, у уравнения два действительных корня.
Ответ: $-1, 1$.

3) Дано уравнение $(1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 - 96$
$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25 - 96$
Упростим правую часть:
$1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x - 71$
Сократим $9x^2$ в обеих частях уравнения:
$1 - 6x = 30x - 71$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$1 + 71 = 30x + 6x$
$72 = 36x$
$x = \frac{72}{36}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

4) Дано уравнение $(\frac{1}{2} - 5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5x + (5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 4 + 4^2$
$\frac{1}{4} - 5x + 25x^2 + \frac{3}{4} = 25x^2 - 40x + 16$
Сгруппируем константы в левой части:
$(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$
$1 - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16$
Сократим $25x^2$ в обеих частях:
$1 - 5x = -40x + 16$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$40x - 5x = 16 - 1$
$35x = 15$
$x = \frac{15}{35}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{3}{7}$
Ответ: $\frac{3}{7}$.

5) Дано уравнение $x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13$.
Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$x^2 + 2x - (x^2 - 3^2) = 13$
$x^2 + 2x - (x^2 - 9) = 13$
$x^2 + 2x - x^2 + 9 = 13$
Сократим $x^2$ и $-x^2$:
$2x + 9 = 13$
$2x = 13 - 9$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $2$.

6) Дано уравнение $4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1$.
Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов:
$4x^2 - 4x - ((2x)^2 - 5^2) = 1$
$4x^2 - 4x - (4x^2 - 25) = 1$
$4x^2 - 4x - 4x^2 + 25 = 1$
Сократим $4x^2$ и $-4x^2$:
$-4x + 25 = 1$
$-4x = 1 - 25$
$-4x = -24$
$x = \frac{-24}{-4}$
$x = 6$
Ответ: $6$.

31.23. Решите неравенство:

1) $(10 - x)(x + 10) + x^2 \leq x + 90;$

2) $y^2 - (y - 8)(8 + y) - 4 > 32 - y;$

3) $x(x + 0,3) - (x - 0,3)(x + 0,3) \geq 0,1;$

4) $27 - (1,2 - y)(-y - 1,2) < 1,44 - y^2 - y.$

1) $(10 - x)(x + 10) + x^2 \le x + 90$
В левой части неравенства применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к произведению $(10-x)(10+x)$.
$10^2 - x^2 + x^2 \le x + 90$
$100 - x^2 + x^2 \le x + 90$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$100 \le x + 90$
Перенесем 90 в левую часть неравенства, изменив знак.
$100 - 90 \le x$
$10 \le x$
Это неравенство можно записать в виде $x \ge 10$.
Ответ: $x \in [10; +\infty)$.

2) $y^2 - (y - 8)(8 + y) - 4 > 32 - y$
Преобразуем выражение $(y-8)(8+y)$ в $(y-8)(y+8)$ и применим формулу разности квадратов.
$y^2 - (y^2 - 8^2) - 4 > 32 - y$
$y^2 - (y^2 - 64) - 4 > 32 - y$
Раскроем скобки.
$y^2 - y^2 + 64 - 4 > 32 - y$
Приведем подобные слагаемые.
$60 > 32 - y$
Перенесем $-y$ в левую часть, а 60 - в правую, изменив их знаки.
$y > 32 - 60$
$y > -28$
Ответ: $y \in (-28; +\infty)$.

3) $x(x + 0,3) - (x - 0,3)(x + 0,3) \ge 0,1$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон, для второго - формулу разности квадратов.
$x^2 + 0,3x - (x^2 - (0,3)^2) \ge 0,1$
$x^2 + 0,3x - (x^2 - 0,09) \ge 0,1$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус.
$x^2 + 0,3x - x^2 + 0,09 \ge 0,1$
Приведем подобные слагаемые.
$0,3x + 0,09 \ge 0,1$
Перенесем 0,09 в правую часть.
$0,3x \ge 0,1 - 0,09$
$0,3x \ge 0,01$
Разделим обе части на 0,3.
$x \ge \frac{0,01}{0,3}$
$x \ge \frac{1}{30}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{30}; +\infty)$.

4) $27 - (1,2 - y)(-y - 1,2) < 1,44 - y^2 - y$
Преобразуем произведение в скобках. Вынесем -1 из второй скобки: $(-y - 1,2) = -(y + 1,2)$.
$27 - (1,2 - y)(-(y + 1,2)) < 1,44 - y^2 - y$
$27 + (1,2 - y)(y + 1,2) < 1,44 - y^2 - y$
Применим формулу разности квадратов к выражению $(1,2-y)(1,2+y)$.
$27 + ((1,2)^2 - y^2) < 1,44 - y^2 - y$
$27 + 1,44 - y^2 < 1,44 - y^2 - y$
Прибавим $y^2$ к обеим частям и вычтем 1,44 из обеих частей неравенства.
$27 < -y$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный.
$-27 > y$, что эквивалентно $y < -27$.
Ответ: $y \in (-\infty; -27)$.

31.24. Докажите тождество:

1) $(1 + a)(1 - a)(1 + a^2) - 5 + a^4 = -4;$

2) $5a^2 - 3(a + 1)(a - 1) + 8a^2 + 5 = 10a^2 + 8;$

3) $7(a^2 + 2) - 4(a + 3)(a - 3) + 3a^2 + 24 = 6a^2 + 74;$

4) $10(a^2 - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a^2 = 50 - 3a^2.$

1) $(1 + a)(1 - a)(1 + a^2) - 5 + a^4 = -4$

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:

$(1 + a)(1 - a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$(1 - a^2)(1 + a^2) - 5 + a^4$

Снова применим формулу разности квадратов:

$(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$

Подставим результат и упростим выражение:

$1 - a^4 - 5 + a^4 = (1 - 5) + (-a^4 + a^4) = -4 + 0 = -4$

В результате преобразований левая часть стала равна правой:

$-4 = -4$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $5a^2 - 3(a + 1)(a - 1) + 8a^2 + 5 = 10a^2 + 8$

Преобразуем левую часть тождества. Применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ к выражению в скобках:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим это в исходное выражение:

$5a^2 - 3(a^2 - 1) + 8a^2 + 5$

Раскроем скобки, умножив $(a^2 - 1)$ на $-3$:

$5a^2 - 3a^2 + 3 + 8a^2 + 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5a^2 - 3a^2 + 8a^2) + (3 + 5) = 10a^2 + 8$

Левая часть равна правой:

$10a^2 + 8 = 10a^2 + 8$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) $7(a^2 + 2) - 4(a + 3)(a - 3) + 3a^2 + 24 = 6a^2 + 74$

Преобразуем левую часть тождества. Сначала раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов ко второй группе множителей:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

Подставим результат в выражение и раскроем первые скобки:

$7a^2 + 14 - 4(a^2 - 9) + 3a^2 + 24$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$7a^2 + 14 - 4a^2 + 36 + 3a^2 + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(7a^2 - 4a^2 + 3a^2) + (14 + 36 + 24) = (3a^2 + 3a^2) + (50 + 24) = 6a^2 + 74$

Левая часть равна правой:

$6a^2 + 74 = 6a^2 + 74$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) $10(a^2 - 15) - 12(a - 4)(a + 4) + 8 - a^2 = 50 - 3a^2$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем первые скобки и применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ ко второй группе множителей:

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$

Подставим это в левую часть и раскроем первые скобки:

$10a^2 - 150 - 12(a^2 - 16) + 8 - a^2$

Раскроем оставшиеся скобки:

$10a^2 - 150 - 12a^2 + 192 + 8 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - 12a^2 - a^2) + (-150 + 192 + 8) = -3a^2 + 50$

Переставим слагаемые для соответствия правой части:

$50 - 3a^2$

Левая часть равна правой:

$50 - 3a^2 = 50 - 3a^2$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

31.25. Представьте в виде произведения выражение:

1) $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$,

2) $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$.

1) Чтобы представить выражение $25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10}$ в виде произведения, сначала вынесем за скобки общий множитель $z^{10}$.

$25a^4x^2z^{10} - 9b^6y^2z^{10} = z^{10}(25a^4x^2 - 9b^6y^2)$

Выражение в скобках, $25a^4x^2 - 9b^6y^2$, является разностью квадратов. Для его разложения используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в скобках в виде квадрата:

$25a^4x^2 = (5a^2x)^2$

$9b^6y^2 = (3b^3y)^2$

Теперь мы можем применить формулу:

$(5a^2x)^2 - (3b^3y)^2 = (5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:

$z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$

Ответ: $z^{10}(5a^2x - 3b^3y)(5a^2x + 3b^3y)$.

2) Для того чтобы представить выражение $(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8$ в виде произведения, сначала необходимо его упростить. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(9a^4 - 4b^6)a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^4 \cdot a^2b^2 - 4b^6 \cdot a^2b^2 - 12a^2b^8 = 9a^6b^2 - 4a^2b^8 - 12a^2b^8$

Складываем подобные члены:

$9a^6b^2 - (4a^2b^8 + 12a^2b^8) = 9a^6b^2 - 16a^2b^8$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $a^2b^2$ из полученного выражения:

$9a^6b^2 - 16a^2b^8 = a^2b^2(9a^4 - 16b^6)$

Выражение в скобках, $9a^4 - 16b^6$, также является разностью квадратов. Снова используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член в скобках в виде квадрата:

$9a^4 = (3a^2)^2$

$16b^6 = (4b^3)^2$

Применяем формулу:

$(3a^2)^2 - (4b^3)^2 = (3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$

В результате получаем окончательное разложение на множители:

$a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$

Ответ: $a^2b^2(3a^2 - 4b^3)(3a^2 + 4b^3)$.

31.26. Укажите, при каком наименьшем натуральном $k$ значение выражения:

1) $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15;

2) $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21?

1) Требуется найти наименьшее натуральное $k$, при котором значение выражения $(k-3)^2 - (k+3)^2$ делится на 15.

Упростим данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Положим $a = k-3$ и $b = k+3$.

$(k-3)^2 - (k+3)^2 = ((k-3) - (k+3)) \cdot ((k-3) + (k+3))$

Вычислим значение в каждой скобке:

$(k-3) - (k+3) = k - 3 - k - 3 = -6$

$(k-3) + (k+3) = k - 3 + k + 3 = 2k$

Таким образом, исходное выражение равно $(-6) \cdot (2k) = -12k$.

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное $k$, при котором $-12k$ делится на 15. Это равносильно тому, что $12k$ делится на 15. Чтобы число $12k$ делилось на 15, оно должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел 12 и 15.

Разложим числа 12 и 15 на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Следовательно, наименьшее значение произведения $12k$ должно быть равно 60.

$12k = 60$

$k = \frac{60}{12} = 5$

$k=5$ — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию.

Ответ: 5

2) Требуется найти наименьшее натуральное $k$, при котором значение выражения $(7k+2)^2 - (7k-2)^2$ делится на 21.

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 7k+2$ и $b = 7k-2$.

$(7k+2)^2 - (7k-2)^2 = ((7k+2) - (7k-2)) \cdot ((7k+2) + (7k-2))$

Вычислим значение в каждой скобке:

$(7k+2) - (7k-2) = 7k + 2 - 7k + 2 = 4$

$(7k+2) + (7k-2) = 7k + 2 + 7k - 2 = 14k$

Таким образом, исходное выражение равно $4 \cdot (14k) = 56k$.

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное $k$, при котором $56k$ делится на 21. Запишем это условие в виде равенства: $56k = 21n$, где $n$ — некоторое целое число.

Сократим обе части уравнения на наибольший общий делитель (НОД) чисел 56 и 21. Так как $56 = 7 \cdot 8$ и $21 = 7 \cdot 3$, то НОД(56, 21) = 7.

Разделив уравнение на 7, получим: $8k = 3n$.

Поскольку числа 8 и 3 являются взаимно простыми, для выполнения этого равенства $k$ должно быть кратно 3.

Так как мы ищем наименьшее натуральное $k$, то наименьшим таким значением будет $k=3$.

Ответ: 3

31.27. Длина стороны квадрата равна 13 см. Длину стороны квадрата увеличили на 2 см. Найдите площадь полученного квадрата.

Для решения задачи сначала найдем новую длину стороны квадрата. Изначальная длина стороны была 13 см, и ее увеличили на 2 см.

1. Вычислим новую длину стороны:

$13 \text{ см} + 2 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Таким образом, длина стороны полученного квадрата равна 15 см.

2. Теперь найдем площадь этого нового квадрата. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – это длина его стороны.

Подставим значение новой длины стороны в формулу:

$S = (15 \text{ см})^2 = 15 \times 15 = 225 \text{ см}^2$

Ответ: $225 \text{ см}^2$.

31.28. Способом группировки разложите выражение $4a^2 - 4a + 1$ на два одинаковых множителя.

Чтобы разложить выражение $4a^2 - 4a + 1$ на множители способом группировки, необходимо представить средний член $-4a$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициента при $a^2$ и свободного члена ($4 \cdot 1 = 4$), а их сумма равна коэффициенту при $a$ ($-4$).

Такими числами являются $-2$ и $-2$, поскольку их произведение равно $(-2) \cdot (-2) = 4$ и их сумма равна $(-2) + (-2) = -4$.

Теперь заменим в исходном выражении $-4a$ на сумму $-2a - 2a$:

$4a^2 - 2a - 2a + 1$

Далее сгруппируем попарно слагаемые:

$(4a^2 - 2a) + (-2a + 1)$

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы. Из первой группы вынесем $2a$, а из второй группы вынесем $-1$, чтобы получить в скобках одинаковые выражения:

$2a(2a - 1) - 1(2a - 1)$

Теперь мы видим, что у обеих частей есть общий множитель $(2a - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2a - 1)(2a - 1)$

Таким образом, мы разложили выражение на два одинаковых множителя. Полученное выражение можно также записать в виде квадрата двучлена: $(2a-1)^2$.

Ответ: $(2a - 1)(2a - 1)$