Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.4. Представьте в виде произведения двучлен:

1) $c^2 - 0,49;$

2) $16 - k^2;$

3) $400 - m^2;$

4) $t^2 - 225;$

5) $1,69 - b^2;$

6) $y^2 - \frac{16}{81};$

7) $25x^2 - 4;$

8) $\frac{25}{36} - 64y^2.$

Все представленные выражения являются разностью квадратов, для их разложения на множители используется формула сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $c^2 - 0,49$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = c^2$, значит $a = c$.
$b^2 = 0,49$, значит $b = \sqrt{0,49} = 0,7$.
Применяем формулу:
$c^2 - (0,7)^2 = (c - 0,7)(c + 0,7)$.
Ответ: $(c - 0,7)(c + 0,7)$

2) $16 - k^2$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = 16$, значит $a = \sqrt{16} = 4$.
$b^2 = k^2$, значит $b = k$.
Применяем формулу:
$4^2 - k^2 = (4 - k)(4 + k)$.
Ответ: $(4 - k)(4 + k)$

3) $400 - m^2$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = 400$, значит $a = \sqrt{400} = 20$.
$b^2 = m^2$, значит $b = m$.
Применяем формулу:
$20^2 - m^2 = (20 - m)(20 + m)$.
Ответ: $(20 - m)(20 + m)$

4) $t^2 - 225$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = t^2$, значит $a = t$.
$b^2 = 225$, значит $b = \sqrt{225} = 15$.
Применяем формулу:
$t^2 - 15^2 = (t - 15)(t + 15)$.
Ответ: $(t - 15)(t + 15)$

5) $1,69 - b^2$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = 1,69$, значит $a = \sqrt{1,69} = 1,3$.
$b^2 = b^2$, значит $b = b$.
Применяем формулу:
$(1,3)^2 - b^2 = (1,3 - b)(1,3 + b)$.
Ответ: $(1,3 - b)(1,3 + b)$

6) $y^2 - \frac{16}{81}$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = y^2$, значит $a = y$.
$b^2 = \frac{16}{81}$, значит $b = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}$.
Применяем формулу:
$y^2 - (\frac{4}{9})^2 = (y - \frac{4}{9})(y + \frac{4}{9})$.
Ответ: $(y - \frac{4}{9})(y + \frac{4}{9})$

7) $25x^2 - 4$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = 25x^2$, значит $a = \sqrt{25x^2} = 5x$.
$b^2 = 4$, значит $b = \sqrt{4} = 2$.
Применяем формулу:
$(5x)^2 - 2^2 = (5x - 2)(5x + 2)$.
Ответ: $(5x - 2)(5x + 2)$

8) $\frac{25}{36} - 64y^2$
Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = \frac{25}{36}$, значит $a = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$.
$b^2 = 64y^2$, значит $b = \sqrt{64y^2} = 8y$.
Применяем формулу:
$(\frac{5}{6})^2 - (8y)^2 = (\frac{5}{6} - 8y)(\frac{5}{6} + 8y)$.
Ответ: $(\frac{5}{6} - 8y)(\frac{5}{6} + 8y)$

31.5. Вычислите с помощью формулы $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b):$

1) $13^2 - 9^2;$

2) $20^2 - 19^2;$

3) $2,2^2 - 2,8^2;$

4) $3,5^2 - 3,7^2;$

5) $\left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2;$

6) $\left(\frac{7}{9}\right)^2 - \left(\frac{1}{6}\right)^2;$

7) $\left(\frac{5}{12}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2;$

8) $\left(\frac{3}{10}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2;$

9) $\left(\frac{8}{15}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2;$

10) $\left(2\frac{1}{7}\right)^2 - \left(2\frac{1}{7}\right)^2;$

11) $\left(3\frac{1}{3}\right)^2 - \left(4\frac{1}{2}\right)^2;$

12) $\left(5\frac{1}{6}\right)^2 - \left(7\frac{1}{3}\right)^2;$

13) $51^2 - 41^2;$

14) $54^2 - 46^2;$

15) $76^2 - 24^2;$

16) $328^2 - 172^2;$

17) $\left(3\frac{2}{3}\right)^2 - \left(2\frac{1}{3}\right)^2;$

18) $\left(7\frac{5}{9}\right)^2 - \left(4\frac{4}{9}\right)^2;$

1) Для вычисления выражения $13^2 - 9^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 13$ и $b = 9$.
$13^2 - 9^2 = (13 - 9)(13 + 9) = 4 \cdot 22 = 88$.
Ответ: 88

2) Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $20^2 - 19^2$.
В данном случае $a = 20$ и $b = 19$.
$20^2 - 19^2 = (20 - 19)(20 + 19) = 1 \cdot 39 = 39$.
Ответ: 39

3) Вычислим $2,2^2 - 2,8^2$, используя формулу разности квадратов.
Здесь $a = 2,2$ и $b = 2,8$.
$2,2^2 - 2,8^2 = (2,2 - 2,8)(2,2 + 2,8) = (-0,6) \cdot 5 = -3$.
Ответ: -3

4) Для выражения $3,5^2 - 3,7^2$ применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a = 3,5$ и $b = 3,7$.
$3,5^2 - 3,7^2 = (3,5 - 3,7)(3,5 + 3,7) = (-0,2) \cdot 7,2 = -1,44$.
Ответ: -1,44

5) Вычислим $(\frac{5}{6})^2 - (\frac{2}{3})^2$ по формуле разности квадратов.
Здесь $a = \frac{5}{6}$ и $b = \frac{2}{3}$.
$(\frac{5}{6})^2 - (\frac{2}{3})^2 = (\frac{5}{6} - \frac{2}{3})(\frac{5}{6} + \frac{2}{3}) = (\frac{5}{6} - \frac{4}{6})(\frac{5}{6} + \frac{4}{6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

6) Для $(\frac{7}{9})^2 - (\frac{1}{6})^2$ используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$a = \frac{7}{9}$, $b = \frac{1}{6}$. Общий знаменатель 18.
$(\frac{7}{9} - \frac{1}{6})(\frac{7}{9} + \frac{1}{6}) = (\frac{14}{18} - \frac{3}{18})(\frac{14}{18} + \frac{3}{18}) = \frac{11}{18} \cdot \frac{17}{18} = \frac{187}{324}$.
Ответ: $\frac{187}{324}$

7) Вычислим $(\frac{5}{12})^2 - (\frac{3}{4})^2$.
$a = \frac{5}{12}$, $b = \frac{3}{4}$. Общий знаменатель 12.
$(\frac{5}{12} - \frac{3}{4})(\frac{5}{12} + \frac{3}{4}) = (\frac{5}{12} - \frac{9}{12})(\frac{5}{12} + \frac{9}{12}) = (-\frac{4}{12}) \cdot \frac{14}{12} = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{7}{6} = -\frac{7}{18}$.
Ответ: $-\frac{7}{18}$

8) Вычислим $(\frac{3}{10})^2 - (\frac{4}{5})^2$.
$a = \frac{3}{10}$, $b = \frac{4}{5}$. Общий знаменатель 10.
$(\frac{3}{10} - \frac{4}{5})(\frac{3}{10} + \frac{4}{5}) = (\frac{3}{10} - \frac{8}{10})(\frac{3}{10} + \frac{8}{10}) = (-\frac{5}{10}) \cdot \frac{11}{10} = (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{11}{10} = -\frac{11}{20}$.
Ответ: $-\frac{11}{20}$

9) Вычислим $(\frac{8}{15})^2 - (\frac{4}{5})^2$.
$a = \frac{8}{15}$, $b = \frac{4}{5}$. Общий знаменатель 15.
$(\frac{8}{15} - \frac{4}{5})(\frac{8}{15} + \frac{4}{5}) = (\frac{8}{15} - \frac{12}{15})(\frac{8}{15} + \frac{12}{15}) = (-\frac{4}{15}) \cdot \frac{20}{15} = (-\frac{4}{15}) \cdot \frac{4}{3} = -\frac{16}{45}$.
Ответ: $-\frac{16}{45}$

10) Вычислим $(2\frac{1}{7})^2 - (1\frac{2}{7})^2$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $a = 2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$, $b = 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
$(\frac{15}{7})^2 - (\frac{9}{7})^2 = (\frac{15}{7} - \frac{9}{7})(\frac{15}{7} + \frac{9}{7}) = \frac{6}{7} \cdot \frac{24}{7} = \frac{144}{49}$.
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $2\frac{46}{49}$.
Ответ: $\frac{144}{49}$

11) Вычислим $(3\frac{1}{3})^2 - (4\frac{1}{2})^2$.
Переведем в неправильные дроби: $a = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, $b = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
$(\frac{10}{3} - \frac{9}{2})(\frac{10}{3} + \frac{9}{2}) = (\frac{20}{6} - \frac{27}{6})(\frac{20}{6} + \frac{27}{6}) = (-\frac{7}{6}) \cdot \frac{47}{6} = -\frac{329}{36}$.
В виде смешанного числа: $-9\frac{5}{36}$.
Ответ: $-\frac{329}{36}$

12) Вычислим $(5\frac{1}{6})^2 - (7\frac{1}{3})^2$.
Переведем в неправильные дроби: $a = 5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$, $b = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.
$(\frac{31}{6} - \frac{22}{3})(\frac{31}{6} + \frac{22}{3}) = (\frac{31}{6} - \frac{44}{6})(\frac{31}{6} + \frac{44}{6}) = (-\frac{13}{6}) \cdot \frac{75}{6} = (-\frac{13}{6}) \cdot \frac{25}{2} = -\frac{325}{12}$.
В виде смешанного числа: $-27\frac{1}{12}$.
Ответ: $-\frac{325}{12}$

13) Вычислим $51^2 - 41^2$ по формуле разности квадратов.
$a = 51$, $b = 41$.
$(51 - 41)(51 + 41) = 10 \cdot 92 = 920$.
Ответ: 920

14) Вычислим $54^2 - 46^2$ по формуле разности квадратов.
$a = 54$, $b = 46$.
$(54 - 46)(54 + 46) = 8 \cdot 100 = 800$.
Ответ: 800

15) Вычислим $76^2 - 24^2$ по формуле разности квадратов.
$a = 76$, $b = 24$.
$(76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100 = 5200$.
Ответ: 5200

16) Вычислим $328^2 - 172^2$ по формуле разности квадратов.
$a = 328$, $b = 172$.
$(328 - 172)(328 + 172) = 156 \cdot 500 = 78000$.
Ответ: 78000

17) Вычислим $(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2$.
Переведем в неправильные дроби: $a = 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$, $b = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
$(\frac{11}{3} - \frac{7}{3})(\frac{11}{3} + \frac{7}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{18}{3} = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$.
Ответ: 8

18) Вычислим $(7\frac{5}{9})^2 - (4\frac{4}{9})^2$.
Переведем в неправильные дроби: $a = 7\frac{5}{9} = \frac{68}{9}$, $b = 4\frac{4}{9} = \frac{40}{9}$.
$(\frac{68}{9} - \frac{40}{9})(\frac{68}{9} + \frac{40}{9}) = \frac{28}{9} \cdot \frac{108}{9} = \frac{28}{9} \cdot 12 = \frac{28 \cdot 4}{3} = \frac{112}{3}$.
В виде смешанного числа: $37\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{112}{3}$

31.6. Вычислите, представив в виде суммы или разности множители, используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

1) 101 · 99;

2) 102 · 98;

3) 103 · 97;

4) 104 · 96;

5) 105 · 95;

6) 106 · 94.

1) Для вычисления произведения $101 \cdot 99$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $101 = 100 + 1$, а $99 = 100 - 1$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=100$ и $b=1$.
$101 \cdot 99 = (100 + 1)(100 - 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.
Ответ: 9999.

2) Для вычисления произведения $102 \cdot 98$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $102 = 100 + 2$, а $98 = 100 - 2$. Применим формулу разности квадратов, где $a=100$ и $b=2$.
$102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.
Ответ: 9996.

3) Для вычисления произведения $103 \cdot 97$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $103 = 100 + 3$, а $97 = 100 - 3$. Применим формулу разности квадратов, где $a=100$ и $b=3$.
$103 \cdot 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$.
Ответ: 9991.

4) Для вычисления произведения $104 \cdot 96$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $104 = 100 + 4$, а $96 = 100 - 4$. Применим формулу разности квадратов, где $a=100$ и $b=4$.
$104 \cdot 96 = (100 + 4)(100 - 4) = 100^2 - 4^2 = 10000 - 16 = 9984$.
Ответ: 9984.

5) Для вычисления произведения $105 \cdot 95$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $105 = 100 + 5$, а $95 = 100 - 5$. Применим формулу разности квадратов, где $a=100$ и $b=5$.
$105 \cdot 95 = (100 + 5)(100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975$.
Ответ: 9975.

6) Для вычисления произведения $106 \cdot 94$ представим множители в виде суммы и разности. Заметим, что $106 = 100 + 6$, а $94 = 100 - 6$. Применим формулу разности квадратов, где $a=100$ и $b=6$.
$106 \cdot 94 = (100 + 6)(100 - 6) = 100^2 - 6^2 = 10000 - 36 = 9964$.
Ответ: 9964.