Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.1. Найдите среднее арифметическое ряда чисел, его моду и размах:

13; 15; 13; 12; 12; 12; 13; 14; 13; 15; 13; 12.

1) Составьте для этих статистических данных вариационный ряд.

2) Найдите абсолютную и относительную частоту для значений вариантов, входящих в этот ряд.

3) Представьте результаты выборки в виде полигона частот.

Для заданного ряда чисел 13; 15; 13; 12; 12; 12; 13; 14; 13; 15; 13; 12; 12 решим поставленные задачи.

Нахождение среднего арифметического, моды и размаха

Среднее арифметическое – это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.
Сначала найдем сумму всех чисел. В ряду 13 элементов. Для удобства сгруппируем одинаковые числа:
Число 12 встречается 5 раз.
Число 13 встречается 5 раз.
Число 14 встречается 1 раз.
Число 15 встречается 2 раза.
Сумма = $(12 \cdot 5) + (13 \cdot 5) + (14 \cdot 1) + (15 \cdot 2) = 60 + 65 + 14 + 30 = 169$.
Количество чисел в ряду $N=13$.
Среднее арифметическое = $\frac{169}{13} = 13$.

Мода – это значение в ряду, которое встречается наиболее часто.
Как мы уже посчитали, числа 12 и 13 встречаются по 5 раз каждое, что является максимальной частотой в данном ряду. Следовательно, у этого ряда две моды.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Наибольшее значение в ряду: 15.
Наименьшее значение в ряду: 12.
Размах = $15 - 12 = 3$.

Ответ: Среднее арифметическое равно 13, моды ряда – 12 и 13, размах ряда – 3.

1) Составьте для этих статистических данных вариационный ряд:

Вариационный ряд – это ряд, в котором все его элементы упорядочены по возрастанию. Расположим все числа из исходного набора в порядке возрастания.

12; 12; 12; 12; 12; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 15; 15.

Ответ: 12; 12; 12; 12; 12; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 15; 15.

2) Найдите абсолютную и относительную частоту для значений варианты, входящих в этот ряд.

Уникальные значения в ряду (варианты) – это 12, 13, 14, 15.
Абсолютная частота ($n$) – это количество раз, которое варианта встречается в ряду.
Относительная частота ($W$) – это отношение абсолютной частоты к общему числу элементов в ряду ($N=13$). $W = \frac{n}{N}$.

Для варианты $x_1 = 12$:
Абсолютная частота $n_1 = 5$.
Относительная частота $W_1 = \frac{5}{13}$.

Для варианты $x_2 = 13$:
Абсолютная частота $n_2 = 5$.
Относительная частота $W_2 = \frac{5}{13}$.

Для варианты $x_3 = 14$:
Абсолютная частота $n_3 = 1$.
Относительная частота $W_3 = \frac{1}{13}$.

Для варианты $x_4 = 15$:
Абсолютная частота $n_4 = 2$.
Относительная частота $W_4 = \frac{2}{13}$.

Ответ: Для варианты 12: абсолютная частота 5, относительная $\frac{5}{13}$. Для варианты 13: абсолютная частота 5, относительная $\frac{5}{13}$. Для варианты 14: абсолютная частота 1, относительная $\frac{1}{13}$. Для варианты 15: абсолютная частота 2, относительная $\frac{2}{13}$.

3) Представьте результаты выборки в виде полигона частот.

Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки, у которых по оси абсцисс откладываются значения вариант ($x_i$), а по оси ординат – соответствующие им абсолютные частоты ($n_i$). Мы строим полигон по точкам: (12; 5), (13; 5), (14; 1), (15; 2).

Ответ: Полигон частот представлен на графике выше.

30.2. Придумайте задания из школьной жизни, составьте вариационный ряд, найдите абсолютную и относительную частоту, найдите значения их сумм. Представьте информацию в виде полигона частот.

Задание из школьной жизни

Для выполнения задания рассмотрим гипотетическую ситуацию из школьной жизни. В классе, состоящем из 20 учеников, была проведена контрольная работа по математике. Ученики получили следующие оценки (по 5-балльной шкале, где 2 - неудовлетворительно, 3 - удовлетворительно, 4 - хорошо, 5 - отлично):

4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 4.

Наша задача — проанализировать эти данные согласно условию.

Ответ: Задание заключается в статистическом анализе результатов контрольной работы по математике в классе из 20 учеников. Исходные данные (полученные оценки): 4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 4.

Вариационный ряд

Первым шагом в обработке данных является их упорядочивание. Вариационный ряд — это последовательность всех полученных оценок (вариантов), расположенных в порядке неубывания (возрастания).

2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: Вариационный ряд для полученных оценок: 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Абсолютная и относительная частота

Далее составим частотную таблицу. В ней для каждой оценки укажем, сколько раз она встречается (абсолютная частота) и какую долю составляет от общего числа оценок (относительная частота).

Общее число наблюдений (учеников) $N = 20$.

Абсолютная частота ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз каждая варианта (оценка) встречается в выборке.

Относительная частота ($w_i$) — это отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений. Она вычисляется по формуле $w_i = \frac{n_i}{N}$ и может быть выражена в долях или процентах.

Теперь найдем значения сумм абсолютных и относительных частот:

Сумма абсолютных частот: $\sum n_i = 1 + 5 + 9 + 5 = 20$. Сумма абсолютных частот всегда равна объему выборки $N$.

Сумма относительных частот: $\sum w_i = 0,05 + 0,25 + 0,45 + 0,25 = 1$. Сумма относительных частот всегда равна 1 (или 100%).

Ответ: Частотная таблица с абсолютными и относительными частотами представлена выше. Сумма абсолютных частот равна 20, сумма относительных частот равна 1.

Полигон частот

Для наглядного представления распределения данных построим полигон частот. Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, координаты которых соответствуют вариантам (оценкам) и их абсолютным частотам. По оси абсцисс откладываются оценки, а по оси ординат — количество учеников, получивших эту оценку.

Ответ: Графическое представление распределения оценок в виде полигона частот показано на рисунке выше.

30.3. Известна случайная выборка из 30 учащихся 8 класса с данными об их росте (в см): 166, 165, 163, 166, 168, 165, 168, 170, 165, 165, 165, 165, 164, 168, 165, 164, 161, 162, 164, 166, 165, 166, 167, 164, 163, 168, 167, 167, 165, 162. Составьте вариационный ряд данной выборки. Постройте по ней таблицу абсолютных и относительных частот и ответьте с ее помощью на вопросы:

1. Какой наименьший и наибольший рост учащихся?

2. Какой процент учащихся имеет рост 168 см?

3. Какой рост учащихся чаще всего встречался в выборке?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала составить вариационный ряд, затем на его основе построить таблицу частот и, наконец, используя полученные данные, ответить на поставленные вопросы.

Шаг 1: Составление вариационного ряда.
Вариационный (или ранжированный) ряд — это упорядоченная последовательность всех значений выборки. Исходная выборка состоит из 30 значений роста. Расположим их в порядке возрастания:
161, 162, 162, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165, 165, 165, 165, 165, 166, 166, 166, 166, 167, 167, 167, 168, 168, 168, 168, 170.

Шаг 2: Построение таблицы абсолютных и относительных частот.
Абсолютная частота ($n_i$) показывает, сколько раз каждое конкретное значение (варианта) встречается в выборке. Относительная частота ($w_i$) — это отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений (объему выборки $N=30$), которое вычисляется по формуле $w_i = n_i / N$. Относительную частоту часто выражают в процентах.

Шаг 3: Ответы на вопросы.

1. Какой наименьший и наибольший рост учащихся?
Наименьшее и наибольшее значения в выборке легко найти в вариационном ряду — это его первый и последний элементы. Также их можно увидеть в таблице частот как минимальную и максимальную варианту.
Наименьший рост (минимальное значение): $161$ см.
Наибольший рост (максимальное значение): $170$ см.
Ответ: наименьший рост — 161 см, наибольший рост — 170 см.

2. Какой процент учащихся имеет рост 168 см?
Из таблицы частот находим, что рост $168$ см встречается $4$ раза (абсолютная частота $n_i=4$). Общее число учащихся — $30$.
Чтобы найти процент, вычислим относительную частоту и умножим на $100\%$.
$w_{168} = \frac{4}{30} \times 100\% = \frac{2}{15} \times 100\% = \frac{200}{15}\% = \frac{40}{3}\% = 13\frac{1}{3}\%$.
Ответ: $13\frac{1}{3}\%$ учащихся имеют рост 168 см.

3. Какой рост учащихся чаще всего встречался в выборке?
Значение, которое встречается в выборке чаще всего, называется модой. Чтобы найти моду, нужно найти варианту с наибольшей абсолютной частотой в таблице.
Из таблицы видно, что наибольшая абсолютная частота равна $9$. Это значение соответствует росту $165$ см.
Ответ: чаще всего встречался рост 165 см.

30.4. По полигону абсолютных частот набора игрушек разных цветов (рис. 30.4) найдите:

1) общее количество игрушек;

2) относительную частоту игрушек каждого цвета;

Данные с полигона абсолютных частот:

красный: 4

желтый: 5

зеленый: 8

синий: 6

коричневый: 2

Рис. 30.4

3) игрушек какого цвета больше (меньше) игрушек других цветов.

Сначала определим по полигону абсолютных частот количество игрушек каждого цвета. Абсолютная частота — это количество раз, которое встречается определенное значение в наборе данных. В данном случае это количество игрушек каждого цвета.

Красный: 4 игрушки
Желтый: 5 игрушек
Зеленый: 8 игрушек
Синий: 6 игрушек
Коричневый: 2 игрушки

1) общее количество игрушек

Чтобы найти общее количество игрушек, необходимо сложить количество игрушек каждого цвета (то есть их абсолютные частоты).

Общее количество $N = 4 + 5 + 8 + 6 + 2 = 25$.

Ответ: всего 25 игрушек.

2) относительную частоту игрушек каждого цвета

Относительная частота ($W$) показывает долю каждой группы в общем объеме данных и вычисляется по формуле $W = \frac{n}{N}$, где $n$ – абсолютная частота (количество игрушек определенного цвета), а $N$ – общее количество игрушек.

В нашем случае $N=25$. Рассчитаем относительную частоту для каждого цвета:

Красный: $W_{красный} = \frac{4}{25} = 0,16$
Желтый: $W_{желтый} = \frac{5}{25} = 0,20$
Зеленый: $W_{зеленый} = \frac{8}{25} = 0,32$
Синий: $W_{синий} = \frac{6}{25} = 0,24$
Коричневый: $W_{коричневый} = \frac{2}{25} = 0,08$

Ответ: относительные частоты: красные – 0,16; желтые – 0,20; зеленые – 0,32; синие – 0,24; коричневые – 0,08.

3) игрушек какого цвета больше (меньше) игрушек других цветов

Для ответа на этот вопрос нужно сравнить абсолютные частоты (количества) игрушек разных цветов.

Максимальное количество игрушек – 8, это игрушки зеленого цвета.
Минимальное количество игрушек – 2, это игрушки коричневого цвета.

Ответ: больше всего игрушек зеленого цвета, а меньше всего – коричневого.