Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.9. Если абсолютная частота верных ответов на тест из десяти заданий равна 24, а относительная частота верных ответов равна 30%, то сколько учащихся выполняли этот тест?

Для решения этой задачи необходимо использовать определения абсолютной и относительной частоты. Относительная частота события вычисляется как отношение его абсолютной частоты к общему числу испытаний.

Пусть $N$ — искомое количество учащихся, выполнявших тест.

В тесте было 10 заданий. Каждый из $N$ учащихся отвечал на все 10 заданий. Следовательно, общее количество данных ответов (или общее число испытаний) равно произведению числа учащихся на количество заданий:
Общее число испытаний = $N \times 10$

По условию задачи нам известны:

• Абсолютная частота верных ответов (количество всех верных ответов) = 24.
• Относительная частота верных ответов = 30%, что в виде десятичной дроби равно 0.3.

Формула для относительной частоты выглядит так:
$ \text{Относительная частота} = \frac{\text{Абсолютная частота}}{\text{Общее число испытаний}} $

Подставим известные значения в эту формулу:
$ 0.3 = \frac{24}{N \times 10} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $N$:
$ 0.3 \times (10 \times N) = 24 $
$ 3 \times N = 24 $
$ N = \frac{24}{3} $
$ N = 8 $

Таким образом, тест выполняли 8 учащихся.

Ответ: 8 учащихся.

30.10. Выполните действия:

1) $2a^2 \cdot (a^2 - ab + b^2)$;

2) $a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab$;

3) $x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2$.

1) Для того чтобы выполнить действия, необходимо умножить одночлен $2a^2$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках $(a^2 - ab + b^2)$, применяя распределительное свойство умножения.

$2a^2 \cdot (a^2 - ab + b^2) = 2a^2 \cdot a^2 + 2a^2 \cdot (-ab) + 2a^2 \cdot b^2$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Выполним умножение:

$2a^{2+2} - 2a^{2+1}b + 2a^2b^2 = 2a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому выражение упрощено.

Ответ: $2a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2$.

2) Сначала раскроем скобки в выражении $a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab$, умножив множитель $a$ на каждый член многочлена в скобках.

$a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab = a \cdot a^2 + a \cdot (-2ab) + a \cdot b - 2ab = a^3 - 2a^2b + ab - 2ab$

Теперь необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми в данном выражении являются $ab$ и $-2ab$. Сложим их:

$a^3 - 2a^2b + (1 - 2)ab = a^3 - 2a^2b - ab$

Ответ: $a^3 - 2a^2b - ab$.

3) В выражении $x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2$ первым действием раскроем скобки, умножив $x^2$ на многочлен $(a^2 - 3ax + x)$.

$x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2 = x^2 \cdot a^2 + x^2 \cdot (-3ax) + x^2 \cdot x + 3ax^2$

Упростим полученные произведения, помня о правиле сложения показателей степеней:

$a^2x^2 - 3ax^{2+1} + x^{2+1} + 3ax^2 = a^2x^2 - 3ax^3 + x^3 + 3ax^2$

Проверим наличие подобных слагаемых. Слагаемые являются подобными, если у них одинаковая буквенная часть. В данном выражении буквенные части слагаемых ($a^2x^2$, $ax^3$, $x^3$, $ax^2$) различны, следовательно, подобных слагаемых нет и дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $a^2x^2 - 3ax^3 + x^3 + 3ax^2$.

30.11. Докажите тождество:

1) $a \cdot (a^2 - ab + b^2) + a^2b - ab^2 = a^3;$

2) $a \cdot (a + 2ax - x) - 2a^2x - a^2 + 1 = 1 - ax.$

1) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть так, чтобы она стала равна правой части. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Исходное тождество: $a \cdot (a^2 - ab + b^2) + a^2b - ab^2 = a^3$.

Преобразуем левую часть. Сначала раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена в скобках:

$a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + a^2b - ab^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2$.

Теперь приведём подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2)$.

Выполним сложение и вычитание:

$a^3 + 0 + 0 = a^3$.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $a^3$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $a^3 = a^3$.

2) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть так, чтобы она стала равна правой части. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Исходное тождество: $a \cdot (a + 2ax - x) - 2a^2x - a^2 + 1 = 1 - ax$.

Преобразуем левую часть. Сначала раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена в скобках:

$a \cdot a + a \cdot 2ax - a \cdot x - 2a^2x - a^2 + 1 = a^2 + 2a^2x - ax - 2a^2x - a^2 + 1$.

Теперь приведём подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$(a^2 - a^2) + (2a^2x - 2a^2x) - ax + 1$.

Выполним сложение и вычитание:

$0 + 0 - ax + 1 = 1 - ax$.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $1 - ax$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $1 - ax = 1 - ax$.