Номер 30.10, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.10. Выполните действия:

1) $2a^2 \cdot (a^2 - ab + b^2)$;

2) $a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab$;

3) $x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2$.

1) Для того чтобы выполнить действия, необходимо умножить одночлен $2a^2$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках $(a^2 - ab + b^2)$, применяя распределительное свойство умножения.

$2a^2 \cdot (a^2 - ab + b^2) = 2a^2 \cdot a^2 + 2a^2 \cdot (-ab) + 2a^2 \cdot b^2$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Выполним умножение:

$2a^{2+2} - 2a^{2+1}b + 2a^2b^2 = 2a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому выражение упрощено.

Ответ: $2a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2$.

2) Сначала раскроем скобки в выражении $a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab$, умножив множитель $a$ на каждый член многочлена в скобках.

$a \cdot (a^2 - 2ab + b) - 2ab = a \cdot a^2 + a \cdot (-2ab) + a \cdot b - 2ab = a^3 - 2a^2b + ab - 2ab$

Теперь необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми в данном выражении являются $ab$ и $-2ab$. Сложим их:

$a^3 - 2a^2b + (1 - 2)ab = a^3 - 2a^2b - ab$

Ответ: $a^3 - 2a^2b - ab$.

3) В выражении $x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2$ первым действием раскроем скобки, умножив $x^2$ на многочлен $(a^2 - 3ax + x)$.

$x^2 \cdot (a^2 - 3ax + x) + 3ax^2 = x^2 \cdot a^2 + x^2 \cdot (-3ax) + x^2 \cdot x + 3ax^2$

Упростим полученные произведения, помня о правиле сложения показателей степеней:

$a^2x^2 - 3ax^{2+1} + x^{2+1} + 3ax^2 = a^2x^2 - 3ax^3 + x^3 + 3ax^2$

Проверим наличие подобных слагаемых. Слагаемые являются подобными, если у них одинаковая буквенная часть. В данном выражении буквенные части слагаемых ($a^2x^2$, $ax^3$, $x^3$, $ax^2$) различны, следовательно, подобных слагаемых нет и дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $a^2x^2 - 3ax^3 + x^3 + 3ax^2$.