Номер 30.11, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.11. Докажите тождество:

1) $a \cdot (a^2 - ab + b^2) + a^2b - ab^2 = a^3;$

2) $a \cdot (a + 2ax - x) - 2a^2x - a^2 + 1 = 1 - ax.$

1) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть так, чтобы она стала равна правой части. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Исходное тождество: $a \cdot (a^2 - ab + b^2) + a^2b - ab^2 = a^3$.

Преобразуем левую часть. Сначала раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена в скобках:

$a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + a^2b - ab^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2$.

Теперь приведём подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2)$.

Выполним сложение и вычитание:

$a^3 + 0 + 0 = a^3$.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $a^3$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $a^3 = a^3$.

2) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть так, чтобы она стала равна правой части. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Исходное тождество: $a \cdot (a + 2ax - x) - 2a^2x - a^2 + 1 = 1 - ax$.

Преобразуем левую часть. Сначала раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена в скобках:

$a \cdot a + a \cdot 2ax - a \cdot x - 2a^2x - a^2 + 1 = a^2 + 2a^2x - ax - 2a^2x - a^2 + 1$.

Теперь приведём подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$(a^2 - a^2) + (2a^2x - 2a^2x) - ax + 1$.

Выполним сложение и вычитание:

$0 + 0 - ax + 1 = 1 - ax$.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $1 - ax$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $1 - ax = 1 - ax$.