Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.5. Используя данные упражнения 30.4, составьте таблицу частот набора игрушек разных цветов.

Для решения задачи 30.5 требуется использовать данные из упражнения 30.4. Поскольку эти данные не предоставлены, мы будем исходить из гипотетического набора данных. Предположим, что в упражнении 30.4 был дан следующий перечень цветов игрушек:

Красный, Синий, Красный, Зеленый, Синий, Желтый, Красный, Синий, Зеленый.

Цель — составить таблицу частот для этого набора. Таблица частот показывает, сколько раз каждый уникальный элемент (в данном случае — цвет) встречается в наборе данных.

Этап 1: Определение уникальных категорий

Сначала определим все уникальные цвета, которые присутствуют в наборе. Это:

Красный
Синий
Зеленый
Желтый

Этап 2: Подсчет частоты для каждой категории

Теперь подсчитаем, сколько раз каждый из этих цветов встречается в исходном списке. Это и будет их частота.

Частота для красного цвета: 3
Частота для синего цвета: 3
Частота для зеленого цвета: 2
Частота для желтого цвета: 1

Для проверки правильности подсчетов, найдем сумму всех частот: $3 + 3 + 2 + 1 = 9$. Результат совпадает с общим количеством игрушек в списке, что подтверждает корректность расчетов.

Этап 3: Составление итоговой таблицы

На основе полученных данных сформируем таблицу частот.

Ответ:

30.6. Проведите 50 опытов с тремя игровыми кубиками. Экспортируйте результаты в MS Excel и найдите сумму очков в каждом опыте. Получите вариационный ряд и составьте для него таблицу частот. Оцените по полученной таблице, с какой частотой значение суммы будет равно 5; 10; 15.

Для решения задачи смоделируем 50 опытов с бросанием трех шестигранных игровых кубиков и найдем сумму выпавших очков для каждого броска. Так как выполнение реальных опытов затруднительно, мы используем генератор случайных чисел для имитации этого процесса.

1. Проведение 50 опытов и нахождение суммы очков

В MS Excel для генерации случайного целого числа от 1 до 6 можно использовать формулу =СЛУЧМЕЖДУ(1;6). Проведя 50 таких опытов для трех кубиков, мы получим таблицу с результатами. Ниже приведены 50 значений суммы очков, которые могли бы быть получены в результате такого эксперимента:

10, 14, 11, 8, 10, 14, 10, 10, 11, 11, 9, 12, 9, 12, 11, 9, 13, 11, 6, 9, 10, 12, 10, 11, 11, 11, 9, 13, 10, 11, 7, 10, 10, 8, 10, 9, 10, 11, 14, 13, 11, 12, 10, 11, 10, 9, 14, 12, 9, 11.

Эти данные аналогичны тем, что были бы получены и обработаны в MS Excel.

2. Получение вариационного ряда и составление таблицы частот

Вариационный ряд — это упорядоченный по возрастанию список всех полученных значений (сумм). Для наших данных он выглядит следующим образом:

6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14.

На основе этого ряда составим таблицу частот. В таблице для каждого уникального значения суммы (варианты $x_i$) указывается абсолютная частота $n_i$ (сколько раз значение встретилось) и относительная частота $W_i$ (доля этого значения в общем объеме данных), которая вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{N}$, где $N=50$ — общее число опытов.

3. Оценка частоты для сумм 5, 10 и 15

Используя полученную таблицу частот, оценим, с какой относительной частотой встречаются указанные значения суммы.
- Сумма равна 5: В наших 50 опытах такое значение не встретилось ни разу. Следовательно, абсолютная частота равна 0. Относительная частота: $W(5) = \frac{0}{50} = 0$.
- Сумма равна 10: Это значение встретилось 13 раз. Относительная частота: $W(10) = \frac{13}{50} = 0.26$.
- Сумма равна 15: В наших 50 опытах такое значение не встретилось ни разу. Следовательно, абсолютная частота равна 0. Относительная частота: $W(15) = \frac{0}{50} = 0$.

Ответ:

На основе 50 смоделированных опытов, оценка относительных частот для заданных значений суммы очков следующая:
- частота для суммы 5 равна 0;
- частота для суммы 10 равна 0.26;
- частота для суммы 15 равна 0.

30.7. Для контрольной работы учащимся предложили тест из 8 заданий. Количество верных ответов, полученных каждым учащимся из 48, представлено в таблице 30.2.

Таблица 30.2

1) Найдите пропущенное значение абсолютной частоты.

2) Найдите относительные частоты числа верных ответов и заполните таблицу.

3) Постройте полигоны абсолютных и относительных частот.

1) Найдите пропущенное значение абсолютной частоты.

По условию, общее количество учащихся, писавших контрольную работу, равно 48. Это число является суммой всех абсолютных частот. Абсолютная частота показывает, сколько раз встречается то или иное значение в выборке. В данном случае, это количество учащихся, получивших определенное число верных ответов.

Обозначим через $f_i$ абсолютную частоту для $i$ верных ответов. Сумма всех абсолютных частот должна быть равна общему числу учащихся $N$:
$N = f_0 + f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + f_6 + f_7 + f_8$

Из таблицы нам известны все частоты, кроме $f_2$ (частоты для двух верных ответов). Подставим известные значения и общее число учащихся $N=48$ в формулу:
$48 = 0 + 0 + f_2 + 1 + 5 + 14 + 16 + 6 + 6$

Сначала найдем сумму известных абсолютных частот:
$0 + 0 + 1 + 5 + 14 + 16 + 6 + 6 = 48$

Теперь подставим эту сумму обратно в уравнение:
$48 = f_2 + 48$

Отсюда находим пропущенное значение $f_2$:
$f_2 = 48 - 48 = 0$

Таким образом, пропущенное значение абсолютной частоты для двух верных ответов равно 0.

Ответ: Пропущенное значение абсолютной частоты равно 0.

2) Найдите относительные частоты числа верных ответов и заполните таблицу.

Относительная частота $W_i$ вычисляется по формуле: $W_i = \frac{f_i}{N}$ , где $f_i$ — абсолютная частота, а $N$ — общее количество наблюдений (объем выборки). В нашем случае $N = 48$. Теперь вычислим относительные частоты для каждого значения числа верных ответов.

Для 0 верных ответов: $f_0 = 0 \implies W_0 = \frac{0}{48} = 0$

Для 1 верного ответа: $f_1 = 0 \implies W_1 = \frac{0}{48} = 0$

Для 2 верных ответов: $f_2 = 0 \implies W_2 = \frac{0}{48} = 0$

Для 3 верных ответов: $f_3 = 1 \implies W_3 = \frac{1}{48}$

Для 4 верных ответов: $f_4 = 5 \implies W_4 = \frac{5}{48}$

Для 5 верных ответов: $f_5 = 14 \implies W_5 = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}$

Для 6 верных ответов: $f_6 = 16 \implies W_6 = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$

Для 7 верных ответов: $f_7 = 6 \implies W_7 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$

Для 8 верных ответов: $f_8 = 6 \implies W_8 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Относительные частоты вычислены и представлены в таблице выше.

3) Постройте полигоны абсолютных и относительных частот.

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, у которых абсциссы — это значения вариант (в нашем случае — число верных ответов), а ординаты — соответствующие им частоты (абсолютные или относительные).

Полигон абсолютных частот:
На оси абсцисс откладываем число верных ответов, на оси ординат — абсолютные частоты.
Строим график по точкам: (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (4, 5), (5, 14), (6, 16), (7, 6), (8, 6).

Полигон относительных частот:
На оси абсцисс откладываем число верных ответов, на оси ординат — относительные частоты.
Строим график по точкам: (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 1/48), (4, 5/48), (5, 14/48), (6, 16/48), (7, 6/48), (8, 6/48). Форма графика будет идентична полигону абсолютных частот, изменится только масштаб и разметка оси ординат.

Ответ: Полигоны абсолютных и относительных частот построены выше.

30.8. На полигоне частот (рис. 30.5) представлены данные о сотрудниках страховой компании по возрастным группам.

Рис. 30.5

1) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников старше 39 лет.

2) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников моложе 40 лет.

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать данные, представленные на полигоне частот. Полигон показывает распределение сотрудников страховой компании по возрастным группам.

Первым шагом определим количество сотрудников (частоту) в каждой возрастной группе, используя данные с графика:
- Группа 25–29 лет: 5 сотрудников.
- Группа 30–34 года: 10 сотрудников.
- Группа 35–39 лет: 15 сотрудников.
- Группа 40–44 года: 10 сотрудников.
- Группа 45–49 лет: 20 сотрудников.
- Группа 50–54 года: 5 сотрудников.
- Группа 55–60 лет: 5 сотрудников.

Далее, вычислим общее число сотрудников в компании. Для этого сложим количество сотрудников из всех возрастных групп:
$N = 5 + 10 + 15 + 10 + 20 + 5 + 5 = 70$ сотрудников.

Теперь можем приступить к решению поставленных задач.

1) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников старше 39 лет.

К категории сотрудников старше 39 лет относятся возрастные группы: 40–44 года, 45–49 лет, 50–54 года и 55–60 лет.
Найдем суммарное число сотрудников в этих группах:
$n_{старше~39} = 10 + 20 + 5 + 5 = 40$ сотрудников.
Относительная частота вычисляется как отношение числа сотрудников в данной категории к общему числу сотрудников, выраженное в процентах. Формула для расчета:
$W = \frac{n}{N} \times 100\%$
Подставим наши значения:
$W_{старше~39} = \frac{40}{70} \times 100\% = \frac{4}{7} \times 100\% \approx 57,1428...\%$
Округлим результат до двух знаков после запятой.
Ответ: 57,14%.

2) Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории сотрудников моложе 40 лет.

К категории сотрудников моложе 40 лет относятся возрастные группы: 25–29 лет, 30–34 года и 35–39 лет.
Найдем суммарное число сотрудников в этих группах:
$n_{моложе~40} = 5 + 10 + 15 = 30$ сотрудников.
Теперь вычислим относительную частоту для этой категории:
$W_{моложе~40} = \frac{30}{70} \times 100\% = \frac{3}{7} \times 100\% \approx 42,8571...\%$
Округлим результат до двух знаков после запятой.
Ответ: 42,86%.