Страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие известные вам правила были применены для получения формулы разности квадратов двух выражений?

2. Как можно прочитать формулу разности квадратов двух выражений двумя способами?

1. Какие известные вам правила были применены для получения формулы разности квадратов двух выражений?

Для получения формулы разности квадратов двух выражений, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, используется правило умножения многочлена на многочлен. Чтобы доказать эту формулу, необходимо перемножить многочлены в правой части равенства: $(a - b)$ и $(a + b)$.

Процесс умножения выглядит следующим образом:

$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b)$

На этом шаге мы применили распределительное свойство умножения (чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен).

Далее, мы снова применяем распределительное свойство, чтобы раскрыть скобки:

$a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2$

Теперь воспользуемся переместительным (коммутативным) свойством умножения, согласно которому $ab = ba$. Это позволяет нам привести подобные слагаемые $ab$ и $-ba$:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы доказали, что $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ответ: Для вывода формулы разности квадратов были применены: правило умножения многочлена на многочлен, которое основано на распределительном свойстве умножения, переместительное свойство умножения и правило приведения подобных слагаемых.

2. Как можно прочитать формулу разности квадратов двух выражений двумя способами?

Формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ можно прочитать двумя способами, в зависимости от того, читаем мы её слева направо или справа налево. Каждый способ чтения подчёркивает разное применение этой формулы.

Первый способ (чтение слева направо):
«Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму».
Этот способ описывает, как разложить на множители выражение, представляющее собой разность квадратов.

Второй способ (чтение справа налево):
«Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений».
Этот способ описывает правило сокращённого умножения, которое позволяет быстро найти произведение суммы и разности двух выражений.

Ответ: Формулу можно прочитать как «разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму» и, наоборот, как «произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов».

31.1. Выполните умножение:

1) $(x + y)(x - y);$

2) $(n - m)(n + m);$

3) $(k - 2)(k + 2);$

4) $(3 - c)(3 + c);$

5) $(4 + b)(4 - b);$

6) $(a - 7)(a + 7);$

7) $(\frac{1}{7} + x)(\frac{1}{7} - x);$

8) $(a - \frac{2}{9})(a + \frac{2}{9});$

9) $(\frac{5}{6} + m)(\frac{5}{6} - m);$

10) $(0,4 + n)(0,4 - m);$

11) $(k + 1,1)(k - 1,1);$

12) $(d - 2,2)(d + 2,2).$

Все представленные в задании выражения являются произведением суммы и разности двух выражений. Для их упрощения используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

1) В выражении $(x + y)(x - y)$, $a = x$ и $b = y$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$.

2) В выражении $(n - m)(n + m)$, $a = n$ и $b = m$. Применяя формулу, получаем: $n^2 - m^2$.
Ответ: $n^2 - m^2$.

3) В выражении $(k - 2)(k + 2)$, $a = k$ и $b = 2$. Применяя формулу, получаем: $k^2 - 2^2 = k^2 - 4$.
Ответ: $k^2 - 4$.

4) В выражении $(3 - c)(3 + c)$, $a = 3$ и $b = c$. Применяя формулу, получаем: $3^2 - c^2 = 9 - c^2$.
Ответ: $9 - c^2$.

5) В выражении $(4 + b)(4 - b)$, $a = 4$ и $b = b$. Применяя формулу, получаем: $4^2 - b^2 = 16 - b^2$.
Ответ: $16 - b^2$.

6) В выражении $(a - 7)(a + 7)$, $a = a$ и $b = 7$. Применяя формулу, получаем: $a^2 - 7^2 = a^2 - 49$.
Ответ: $a^2 - 49$.

7) В выражении $(\frac{1}{7} + x)(\frac{1}{7} - x)$, $a = \frac{1}{7}$ и $b = x$. Применяя формулу, получаем: $(\frac{1}{7})^2 - x^2 = \frac{1}{49} - x^2$.
Ответ: $\frac{1}{49} - x^2$.

8) В выражении $(a - \frac{2}{9})(a + \frac{2}{9})$, $a = a$ и $b = \frac{2}{9}$. Применяя формулу, получаем: $a^2 - (\frac{2}{9})^2 = a^2 - \frac{4}{81}$.
Ответ: $a^2 - \frac{4}{81}$.

9) В выражении $(\frac{5}{6} + m)(\frac{5}{6} - m)$, $a = \frac{5}{6}$ и $b = m$. Применяя формулу, получаем: $(\frac{5}{6})^2 - m^2 = \frac{25}{36} - m^2$.
Ответ: $\frac{25}{36} - m^2$.

10) В выражении $(0,4 + n)(0,4 - n)$ (предполагая опечатку в условии, где вместо `n` стоит `m`), $a = 0,4$ и $b = n$. Применяя формулу, получаем: $(0,4)^2 - n^2 = 0,16 - n^2$.
Ответ: $0,16 - n^2$.

11) В выражении $(k + 1,1)(k - 1,1)$, $a = k$ и $b = 1,1$. Применяя формулу, получаем: $k^2 - (1,1)^2 = k^2 - 1,21$.
Ответ: $k^2 - 1,21$.

12) В выражении $(d - 2,2)(d + 2,2)$, $a = d$ и $b = 2,2$. Применяя формулу, получаем: $d^2 - (2,2)^2 = d^2 - 4,84$.
Ответ: $d^2 - 4,84$.

31.2. Выполните действие:

1) $(x - 5)(5 + x);$

2) $(8 + y)(y - 8);$

3) $(10 - k)(k + 10);$

4) $(a + \frac{2}{3}b)(a - \frac{2}{3}b);$

5) $(\frac{4}{9}x - y)(y + \frac{4}{9}x);$

6) $(\frac{4}{15}n - m)(m + \frac{4}{15}n);$

7) $(9x - 5y)(9x + 5y);$

8) $(-4a + 3b)(3b + 4a);$

9) $(13k - 2d)(2d + 13k);$

10) $(\frac{5}{4}c + \frac{3}{7}d)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c);$

11) $(\frac{1}{3}x - 3y)(3y + \frac{1}{3}x);$

12) $(\frac{1}{5}a + \frac{1}{9}b)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a).$

1) Чтобы выполнить умножение $(x - 5)(5 + x)$, поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(x - 5)(x + 5)$.
Теперь применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=5$.
$(x - 5)(x + 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$.
Ответ: $x^2 - 25$.

2) В выражении $(8 + y)(y - 8)$ поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(y + 8)(y - 8)$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=y$ и $b=8$.
$(y + 8)(y - 8) = y^2 - 8^2 = y^2 - 64$.
Ответ: $y^2 - 64$.

3) В выражении $(10 - k)(k + 10)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(10 - k)(10 + k)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=10$ и $b=k$.
$(10 - k)(10 + k) = 10^2 - k^2 = 100 - k^2$.
Ответ: $100 - k^2$.

4) Выражение $(a + \frac{2}{3}b)(a - \frac{2}{3}b)$ уже представлено в виде произведения суммы и разности двух выражений.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=\frac{2}{3}b$.
$(a + \frac{2}{3}b)(a - \frac{2}{3}b) = a^2 - (\frac{2}{3}b)^2 = a^2 - \frac{4}{9}b^2$.
Ответ: $a^2 - \frac{4}{9}b^2$.

5) В выражении $(\frac{4}{9}x - y)(y + \frac{4}{9}x)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(\frac{4}{9}x - y)(\frac{4}{9}x + y)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\frac{4}{9}x$ и $b=y$.
$(\frac{4}{9}x - y)(\frac{4}{9}x + y) = (\frac{4}{9}x)^2 - y^2 = \frac{16}{81}x^2 - y^2$.
Ответ: $\frac{16}{81}x^2 - y^2$.

6) В выражении $(\frac{4}{15}n - m)(m + \frac{4}{15}n)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(\frac{4}{15}n - m)(\frac{4}{15}n + m)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\frac{4}{15}n$ и $b=m$.
$(\frac{4}{15}n - m)(\frac{4}{15}n + m) = (\frac{4}{15}n)^2 - m^2 = \frac{16}{225}n^2 - m^2$.
Ответ: $\frac{16}{225}n^2 - m^2$.

7) Выражение $(9x - 5y)(9x + 5y)$ уже представлено в виде произведения разности и суммы двух выражений.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=9x$ и $b=5y$.
$(9x - 5y)(9x + 5y) = (9x)^2 - (5y)^2 = 81x^2 - 25y^2$.
Ответ: $81x^2 - 25y^2$.

8) В выражении $(-4a + 3b)(3b + 4a)$ поменяем слагаемые в скобках местами для удобства: $(3b - 4a)(3b + 4a)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=3b$ и $y=4a$.
$(3b - 4a)(3b + 4a) = (3b)^2 - (4a)^2 = 9b^2 - 16a^2$.
Ответ: $9b^2 - 16a^2$.

9) В выражении $(13k - 2d)(2d + 13k)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(13k - 2d)(13k + 2d)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=13k$ и $b=2d$.
$(13k - 2d)(13k + 2d) = (13k)^2 - (2d)^2 = 169k^2 - 4d^2$.
Ответ: $169k^2 - 4d^2$.

10) В выражении $(\frac{5}{4}c + \frac{3}{7}d)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c)$ поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(\frac{3}{7}d + \frac{5}{4}c)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c)$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=\frac{3}{7}d$ и $b=\frac{5}{4}c$.
$(\frac{3}{7}d + \frac{5}{4}c)(\frac{3}{7}d - \frac{5}{4}c) = (\frac{3}{7}d)^2 - (\frac{5}{4}c)^2 = \frac{9}{49}d^2 - \frac{25}{16}c^2$.
Ответ: $\frac{9}{49}d^2 - \frac{25}{16}c^2$.

11) В выражении $(\frac{1}{3}x - 3y)(3y + \frac{1}{3}x)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(\frac{1}{3}x - 3y)(\frac{1}{3}x + 3y)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\frac{1}{3}x$ и $b=3y$.
$(\frac{1}{3}x - 3y)(\frac{1}{3}x + 3y) = (\frac{1}{3}x)^2 - (3y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 9y^2$.
Ответ: $\frac{1}{9}x^2 - 9y^2$.

12) В выражении $(\frac{1}{5}a + \frac{1}{9}b)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a)$ поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(\frac{1}{9}b + \frac{1}{5}a)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a)$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=\frac{1}{9}b$ и $y=\frac{1}{5}a$.
$(\frac{1}{9}b + \frac{1}{5}a)(\frac{1}{9}b - \frac{1}{5}a) = (\frac{1}{9}b)^2 - (\frac{1}{5}a)^2 = \frac{1}{81}b^2 - \frac{1}{25}a^2$.
Ответ: $\frac{1}{81}b^2 - \frac{1}{25}a^2$.

31.3. Разложите на множители:

1) $a^2 - 49$;

2) $64 - b^2$;

3) $c^2 - 2,25$;

4) $2,89 - d^2$;

5) $\frac{64}{81} - x^2$;

6) $\frac{100}{121} - y^2$;

7) $z^2 - \frac{169}{196}$;

8) $t^2 - \frac{400}{441}$;

9) $25x^2 - 36$;

10) $-16 + 49y^2$;

11) $0,64 - \frac{1}{9}z^2$;

12) $\frac{4}{25}t^2 - 36$;

13) $\frac{9}{16} - \frac{1}{144}a^2$;

14) $\frac{25}{64}b^2 - \frac{1}{81}$;

15) $2,56x^2 - \frac{225}{361}$;

16) $\frac{81}{100} - 0,04c^2$.

1) Для разложения на множители выражения $a^2 - 49$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x=a$ и $y=\sqrt{49}=7$.
$a^2 - 49 = a^2 - 7^2 = (a - 7)(a + 7)$.
Ответ: $(a - 7)(a + 7)$

2) Для разложения на множители выражения $64 - b^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x=\sqrt{64}=8$ и $y=b$.
$64 - b^2 = 8^2 - b^2 = (8 - b)(8 + b)$.
Ответ: $(8 - b)(8 + b)$

3) Для разложения на множители выражения $c^2 - 2,25$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x=c$ и $y=\sqrt{2,25}=1,5$.
$c^2 - 2,25 = c^2 - (1,5)^2 = (c - 1,5)(c + 1,5)$.
Ответ: $(c - 1,5)(c + 1,5)$

4) Для разложения на множители выражения $2,89 - d^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x=\sqrt{2,89}=1,7$ и $y=d$.
$2,89 - d^2 = (1,7)^2 - d^2 = (1,7 - d)(1,7 + d)$.
Ответ: $(1,7 - d)(1,7 + d)$

5) Для разложения на множители выражения $\frac{64}{81} - x^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{64}{81}}=\frac{8}{9}$ и $B=x$.
$\frac{64}{81} - x^2 = (\frac{8}{9})^2 - x^2 = (\frac{8}{9} - x)(\frac{8}{9} + x)$.
Ответ: $(\frac{8}{9} - x)(\frac{8}{9} + x)$

6) Для разложения на множители выражения $\frac{100}{121} - y^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{100}{121}}=\frac{10}{11}$ и $B=y$.
$\frac{100}{121} - y^2 = (\frac{10}{11})^2 - y^2 = (\frac{10}{11} - y)(\frac{10}{11} + y)$.
Ответ: $(\frac{10}{11} - y)(\frac{10}{11} + y)$

7) Для разложения на множители выражения $z^2 - \frac{169}{196}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=z$ и $B=\sqrt{\frac{169}{196}}=\frac{13}{14}$.
$z^2 - \frac{169}{196} = z^2 - (\frac{13}{14})^2 = (z - \frac{13}{14})(z + \frac{13}{14})$.
Ответ: $(z - \frac{13}{14})(z + \frac{13}{14})$

8) Для разложения на множители выражения $t^2 - \frac{400}{441}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=t$ и $B=\sqrt{\frac{400}{441}}=\frac{20}{21}$.
$t^2 - \frac{400}{441} = t^2 - (\frac{20}{21})^2 = (t - \frac{20}{21})(t + \frac{20}{21})$.
Ответ: $(t - \frac{20}{21})(t + \frac{20}{21})$

9) Для разложения на множители выражения $25x^2 - 36$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{25x^2}=5x$ и $B=\sqrt{36}=6$.
$25x^2 - 36 = (5x)^2 - 6^2 = (5x - 6)(5x + 6)$.
Ответ: $(5x - 6)(5x + 6)$

10) Сначала перепишем выражение $-16 + 49y^2$ в виде $49y^2 - 16$. Теперь это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=\sqrt{49y^2}=7y$ и $B=\sqrt{16}=4$.
$49y^2 - 16 = (7y)^2 - 4^2 = (7y - 4)(7y + 4)$.
Ответ: $(7y - 4)(7y + 4)$

11) Для разложения на множители выражения $0,64 - \frac{1}{9}z^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{0,64}=0,8$ и $B=\sqrt{\frac{1}{9}z^2}=\frac{1}{3}z$.
$0,64 - \frac{1}{9}z^2 = (0,8)^2 - (\frac{1}{3}z)^2 = (0,8 - \frac{1}{3}z)(0,8 + \frac{1}{3}z)$.
Ответ: $(0,8 - \frac{1}{3}z)(0,8 + \frac{1}{3}z)$

12) Для разложения на множители выражения $\frac{4}{25}t^2 - 36$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{4}{25}t^2}=\frac{2}{5}t$ и $B=\sqrt{36}=6$.
$\frac{4}{25}t^2 - 36 = (\frac{2}{5}t)^2 - 6^2 = (\frac{2}{5}t - 6)(\frac{2}{5}t + 6)$.
Ответ: $(\frac{2}{5}t - 6)(\frac{2}{5}t + 6)$

13) Для разложения на множители выражения $\frac{9}{16} - \frac{1}{144}a^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ и $B=\sqrt{\frac{1}{144}a^2}=\frac{1}{12}a$.
$\frac{9}{16} - \frac{1}{144}a^2 = (\frac{3}{4})^2 - (\frac{1}{12}a)^2 = (\frac{3}{4} - \frac{1}{12}a)(\frac{3}{4} + \frac{1}{12}a)$.
Ответ: $(\frac{3}{4} - \frac{1}{12}a)(\frac{3}{4} + \frac{1}{12}a)$

14) Для разложения на множители выражения $\frac{25}{64}b^2 - \frac{1}{81}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{25}{64}b^2}=\frac{5}{8}b$ и $B=\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}$.
$\frac{25}{64}b^2 - \frac{1}{81} = (\frac{5}{8}b)^2 - (\frac{1}{9})^2 = (\frac{5}{8}b - \frac{1}{9})(\frac{5}{8}b + \frac{1}{9})$.
Ответ: $(\frac{5}{8}b - \frac{1}{9})(\frac{5}{8}b + \frac{1}{9})$

15) Для разложения на множители выражения $2,56x^2 - \frac{225}{361}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{2,56x^2}=1,6x$ и $B=\sqrt{\frac{225}{361}}=\frac{15}{19}$.
$2,56x^2 - \frac{225}{361} = (1,6x)^2 - (\frac{15}{19})^2 = (1,6x - \frac{15}{19})(1,6x + \frac{15}{19})$.
Ответ: $(1,6x - \frac{15}{19})(1,6x + \frac{15}{19})$

16) Для разложения на множители выражения $\frac{81}{100} - 0,04c^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A=\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac{9}{10}$ и $B=\sqrt{0,04c^2}=0,2c$.
$\frac{81}{100} - 0,04c^2 = (\frac{9}{10})^2 - (0,2c)^2 = (\frac{9}{10} - 0,2c)(\frac{9}{10} + 0,2c)$.
Ответ: $(\frac{9}{10} - 0,2c)(\frac{9}{10} + 0,2c)$