Страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие между формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений?

2. От чего зависит использование формулы (1) и (2) “слева направо” или “справа налево”?

1. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений $a$ и $b$ выглядят так:

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Сходство этих формул заключается в том, что правая часть обеих формул представляет собой многочлен (трехчлен), который содержит:

• квадрат первого выражения ($a^2$);
• квадрат второго выражения ($b^2$);
• удвоенное произведение первого и второго выражений ($2ab$).

Члены $a^2$ и $b^2$ всегда положительны.

Различие между формулами состоит только в знаке перед удвоенным произведением:

• в формуле квадрата суммы перед $2ab$ стоит знак «плюс»;
• в формуле квадрата разности перед $2ab$ стоит знак «минус».

Ответ: Сходство формул в том, что результат их применения — это трехчлен, состоящий из квадрата первого выражения, квадрата второго выражения и их удвоенного произведения. Различие заключается в знаке перед удвоенным произведением: «плюс» для квадрата суммы и «минус» для квадрата разности.

2. Использование формул сокращенного умножения «слева направо» или «справа налево» зависит от цели математического преобразования.

Использование «слева направо» (раскрытие скобок):

$(a \pm b)^2 \rightarrow a^2 \pm 2ab + b^2$

Этот способ применяется, когда необходимо преобразовать квадрат двучлена в многочлен. Основные цели:

• Упрощение выражений, содержащих скобки.
• Приведение многочлена к стандартному виду.
• Решение уравнений, где раскрытие скобок помогает упростить задачу.

Пример: Упростить выражение $(2x+1)^2 - 4x^2$. Раскрываем скобки: $(4x^2+4x+1) - 4x^2 = 4x+1$.

Использование «справа налево» (разложение на множители или выделение полного квадрата):

$a^2 \pm 2ab + b^2 \rightarrow (a \pm b)^2$

Этот способ применяется, когда необходимо представить трехчлен в виде квадрата двучлена. Основные цели:

• Разложение многочлена на множители.
• Сокращение алгебраических дробей.
• Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.
• Доказательство неравенств.

Пример: Разложить на множители $9x^2 - 12xy + 4y^2$. Этот трехчлен можно представить как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2$, что соответствует формуле, и мы сворачиваем его в $(3x-2y)^2$.

Ответ: Выбор направления использования формулы зависит от поставленной задачи: если нужно раскрыть скобки и представить выражение в виде многочлена — используют «слева направо»; если нужно разложить многочлен на множители (свернуть в квадрат) — используют «справа налево».

Представьте в виде многочленов (32.1–32.2):

32.1. 1) $(m-3)^2;$ 2) $(x+5)^2;$ 3) $(6+y)^2;$ 4) $(b-9)^2;
5) $(4+d)^2;$ 6) $(p+q)^2;$ 7) $(z^2-y)^2;$ 8) $(a+1)^2.$

Для решения данного задания необходимо использовать формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы двух выражений: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Квадрат разности двух выражений: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1) Представим выражение $(m - 3)^2$ в виде многочлена. Это квадрат разности, где $a = m$ и $b = 3$.
Применяем формулу: $(m - 3)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = m^2 - 6m + 9$.
Ответ: $m^2 - 6m + 9$

2) Представим выражение $(x + 5)^2$ в виде многочлена. Это квадрат суммы, где $a = x$ и $b = 5$.
Применяем формулу: $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.
Ответ: $x^2 + 10x + 25$

3) Представим выражение $(6 + y)^2$ в виде многочлена. Это квадрат суммы, где $a = 6$ и $b = y$.
Применяем формулу: $(6 + y)^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot y + y^2 = 36 + 12y + y^2$.
Ответ: $36 + 12y + y^2$

4) Представим выражение $(b - 9)^2$ в виде многочлена. Это квадрат разности, где $a = b$ и $b = 9$.
Применяем формулу: $(b - 9)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 9 + 9^2 = b^2 - 18b + 81$.
Ответ: $b^2 - 18b + 81$

5) Представим выражение $(4 + d)^2$ в виде многочлена. Это квадрат суммы, где $a = 4$ и $b = d$.
Применяем формулу: $(4 + d)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot d + d^2 = 16 + 8d + d^2$.
Ответ: $16 + 8d + d^2$

6) Представим выражение $(p + q)^2$ в виде многочлена. Это квадрат суммы, где $a = p$ и $b = q$.
Применяем формулу: $(p + q)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot q + q^2 = p^2 + 2pq + q^2$.
Ответ: $p^2 + 2pq + q^2$

7) Представим выражение $(z^2 - y)^2$ в виде многочлена. Это квадрат разности, где $a = z^2$ и $b = y$.
Применяем формулу: $(z^2 - y)^2 = (z^2)^2 - 2 \cdot z^2 \cdot y + y^2 = z^4 - 2z^2y + y^2$.
Ответ: $z^4 - 2z^2y + y^2$

8) Представим выражение $(a + 1)^2$ в виде многочлена. Это квадрат суммы, где $a = a$ и $b = 1$.
Применяем формулу: $(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.
Ответ: $a^2 + 2a + 1$