Страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как можно записать формулы куба суммы и куба разности одним равенством?

2. Какие правила были использованы при выводе формулы куба суммы и куба разности?

1. Формулы куба суммы и куба разности можно объединить в одно равенство, используя знак "плюс-минус" ($ \pm $).
Вспомним обе формулы по отдельности:
Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Как видно, знаки различаются у второго и четвертого слагаемых в правой части. У куба суммы все знаки — плюсы. У куба разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.
Это позволяет записать их в виде одного общего равенства:
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
Это равенство следует читать так: если в левой части стоит знак "плюс", то и в правой части на местах знака $ \pm $ нужно брать верхний знак ("плюс"). Если в левой части стоит "минус", то в правой части нужно брать нижний знак ("минус").
Ответ: Формулы куба суммы и куба разности можно записать одним равенством с помощью знака "плюс-минус": $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.

2. При выводе формул куба суммы и куба разности используются несколько основных алгебраических правил и определений. Рассмотрим вывод на примере куба суммы $(a+b)^3$:
1. Определение степени с натуральным показателем. Куб числа — это число, умноженное само на себя три раза. Это позволяет нам записать:
$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$
Или, что удобнее для вывода, как:
$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$
2. Формула квадрата суммы (формула сокращенного умножения). Мы уже знаем формулу для $(a+b)^2$:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Подставляем это выражение в нашу запись:
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$
3. Правило умножения многочлена на многочлен (распределительный закон). Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
4. Приведение подобных слагаемых. На последнем шаге мы группируем и складываем слагаемые с одинаковой буквенной частью:
$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Аналогичные правила применяются и для вывода формулы куба разности $(a-b)^3$.
Ответ: При выводе формул были использованы: определение степени, формула квадрата суммы/разности, правило умножения многочлена на многочлен (распределительный закон) и правило приведения подобных слагаемых.

Представьте в виде многочленов (33.1–33.4):

33.1. 1) $(2 + x)^3$; 2) $(a - 2)^3$; 3) $(5 - b)^3$; 4) $(y + 3)^3$;

5) $(a - c)^3$; 6) $(c + d)^3$; 7) $(z - t)^3$; 8) $(k + m)^3$.

1) Чтобы представить выражение $(2 + x)^3$ в виде многочлена, используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В данном случае $a=2$ и $b=x$.
Применим формулу и выполним вычисления:
$(2 + x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot x + 6x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$.
Ответ: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

2) Для выражения $(a - 2)^3$ используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Здесь $a=a$ и $b=2$.
Подставим в формулу:
$(a - 2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 3a \cdot 4 - 8 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.
Ответ: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.

3) Чтобы представить $(5 - b)^3$ в виде многочлена, применим формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В этом случае $a=5$ и $b=b$.
Выполним раскрытие скобок:
$(5 - b)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot b + 3 \cdot 5 \cdot b^2 - b^3 = 125 - 3 \cdot 25 \cdot b + 15b^2 - b^3 = 125 - 75b + 15b^2 - b^3$.
Ответ: $-b^3 + 15b^2 - 75b + 125$.

4) Для выражения $(y + 3)^3$ используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Здесь $a=y$ и $b=3$.
Подставим значения в формулу:
$(y + 3)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 3 + 3 \cdot y \cdot 3^2 + 3^3 = y^3 + 9y^2 + 3y \cdot 9 + 27 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27$.
Ответ: $y^3 + 9y^2 + 27y + 27$.

5) Для выражения $(a - c)^3$ применим формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В нашем случае $x=a$ и $y=c$.
$(a - c)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot c + 3 \cdot a \cdot c^2 - c^3 = a^3 - 3a^2c + 3ac^2 - c^3$.
Ответ: $a^3 - 3a^2c + 3ac^2 - c^3$.

6) Для выражения $(c + d)^3$ используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Подставив $a=c$ и $b=d$, получаем:
$(c + d)^3 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot d + 3 \cdot c \cdot d^2 + d^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$.
Ответ: $c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$.

7) Чтобы представить $(z - t)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Здесь $a=z$ и $b=t$.
$(z - t)^3 = z^3 - 3 \cdot z^2 \cdot t + 3 \cdot z \cdot t^2 - t^3 = z^3 - 3z^2t + 3zt^2 - t^3$.
Ответ: $z^3 - 3z^2t + 3zt^2 - t^3$.

8) Для выражения $(k + m)^3$ применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В данном случае $a=k$ и $b=m$.
$(k + m)^3 = k^3 + 3 \cdot k^2 \cdot m + 3 \cdot k \cdot m^2 + m^3 = k^3 + 3k^2m + 3km^2 + m^3$.
Ответ: $k^3 + 3k^2m + 3km^2 + m^3$.

33.2.

1) $(4x+1)^3;$

2) $(1-3y)^3;$

3) $(5z-2)^3;$

4) $(4x-3)^3;$

5) $(a+2x)^3;$

6) $(2y-3)^3;$

7) $(p-3q)^3;$

8) $(3n-2m)^3.$

Для решения данных задач необходимо представить двучлены в виде многочленов, используя формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(4x + 1)^3$

Применим формулу куба суммы, где $a = 4x$ и $b = 1$.

$(4x + 1)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 4x \cdot 1^2 + 1^3 = 64x^3 + 3 \cdot 16x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1$.

Ответ: $64x^3 + 48x^2 + 12x + 1$.

2) $(1 - 3y)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 1$ и $b = 3y$.

$(1 - 3y)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (3y) + 3 \cdot 1 \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 1 - 9y + 3 \cdot 9y^2 - 27y^3 = 1 - 9y + 27y^2 - 27y^3$.

Ответ: $1 - 9y + 27y^2 - 27y^3$.

3) $(5z - 2)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 5z$ и $b = 2$.

$(5z - 2)^3 = (5z)^3 - 3 \cdot (5z)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5z \cdot 2^2 - 2^3 = 125z^3 - 3 \cdot 25z^2 \cdot 2 + 15z \cdot 4 - 8 = 125z^3 - 150z^2 + 60z - 8$.

Ответ: $125z^3 - 150z^2 + 60z - 8$.

4) $(4x - 3)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 4x$ и $b = 3$.

$(4x - 3)^3 = (4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4x \cdot 3^2 - 3^3 = 64x^3 - 3 \cdot 16x^2 \cdot 3 + 12x \cdot 9 - 27 = 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27$.

Ответ: $64x^3 - 144x^2 + 108x - 27$.

5) $(a + 2x)^3$

Применим формулу куба суммы. В данном случае, первое слагаемое это $a$, а второе $2x$.

$(a + 2x)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2x) + 3 \cdot a \cdot (2x)^2 + (2x)^3 = a^3 + 6a^2x + 3a \cdot 4x^2 + 8x^3 = a^3 + 6a^2x + 12ax^2 + 8x^3$.

Ответ: $a^3 + 6a^2x + 12ax^2 + 8x^3$.

6) $(2y - 3)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 2y$ и $b = 3$.

$(2y - 3)^3 = (2y)^3 - 3 \cdot (2y)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2y \cdot 3^2 - 3^3 = 8y^3 - 3 \cdot 4y^2 \cdot 3 + 6y \cdot 9 - 27 = 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27$.

Ответ: $8y^3 - 36y^2 + 54y - 27$.

7) $(p - 3q)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = p$ и $b = 3q$.

$(p - 3q)^3 = p^3 - 3 \cdot p^2 \cdot (3q) + 3 \cdot p \cdot (3q)^2 - (3q)^3 = p^3 - 9p^2q + 3p \cdot 9q^2 - 27q^3 = p^3 - 9p^2q + 27pq^2 - 27q^3$.

Ответ: $p^3 - 9p^2q + 27pq^2 - 27q^3$.

8) $(3n - 2m)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 3n$ и $b = 2m$.

$(3n - 2m)^3 = (3n)^3 - 3 \cdot (3n)^2 \cdot (2m) + 3 \cdot 3n \cdot (2m)^2 - (2m)^3 = 27n^3 - 3 \cdot 9n^2 \cdot 2m + 9n \cdot 4m^2 - 8m^3 = 27n^3 - 54n^2m + 36nm^2 - 8m^3$.

Ответ: $27n^3 - 54n^2m + 36nm^2 - 8m^3$.

33.3.

1) $(0.2a + 5)^3$;

2) $(4 - 0.5b)^3$;

3) $(0.6c - 5)^3$;

4) $(\frac{1}{2}d - 2)^3$;

5) $(\frac{1}{3}t + 3)^3$;

6) $(2 - \frac{1}{4}k)^3$.

1) Для того чтобы возвести выражение $(0,2a + 5)$ в куб, воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В нашем случае $x = 0,2a$ и $y = 5$. Подставим эти значения в формулу: $(0,2a + 5)^3 = (0,2a)^3 + 3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5 + 3 \cdot (0,2a) \cdot 5^2 + 5^3$. Теперь вычислим каждый член по отдельности: $(0,2a)^3 = 0,2^3 \cdot a^3 = 0,008a^3$. $3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5 = 3 \cdot 0,04a^2 \cdot 5 = 0,12a^2 \cdot 5 = 0,6a^2$. $3 \cdot (0,2a) \cdot 5^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot 25 = 0,6a \cdot 25 = 15a$. $5^3 = 125$. Собрав все вместе, получаем: $0,008a^3 + 0,6a^2 + 15a + 125$.
Ответ: $0,008a^3 + 0,6a^2 + 15a + 125$.

2) Для выражения $(4 - 0,5b)^3$ применим формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Здесь $x = 4$ и $y = 0,5b$. Подставим значения в формулу: $(4 - 0,5b)^3 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot (0,5b) + 3 \cdot 4 \cdot (0,5b)^2 - (0,5b)^3$. Вычислим каждый член: $4^3 = 64$. $3 \cdot 4^2 \cdot (0,5b) = 3 \cdot 16 \cdot 0,5b = 48 \cdot 0,5b = 24b$. $3 \cdot 4 \cdot (0,5b)^2 = 12 \cdot (0,25b^2) = 3b^2$. $(0,5b)^3 = 0,5^3 \cdot b^3 = 0,125b^3$. Собрав все вместе, получаем: $64 - 24b + 3b^2 - 0,125b^3$.
Ответ: $64 - 24b + 3b^2 - 0,125b^3$.

3) Для выражения $(0,6c - 5)^3$ используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Здесь $x = 0,6c$ и $y = 5$. Подставим значения в формулу: $(0,6c - 5)^3 = (0,6c)^3 - 3 \cdot (0,6c)^2 \cdot 5 + 3 \cdot (0,6c) \cdot 5^2 - 5^3$. Вычислим каждый член: $(0,6c)^3 = 0,6^3 \cdot c^3 = 0,216c^3$. $3 \cdot (0,6c)^2 \cdot 5 = 3 \cdot 0,36c^2 \cdot 5 = 1,08c^2 \cdot 5 = 5,4c^2$. $3 \cdot (0,6c) \cdot 5^2 = 3 \cdot 0,6c \cdot 25 = 1,8c \cdot 25 = 45c$. $5^3 = 125$. Собрав все вместе, получаем: $0,216c^3 - 5,4c^2 + 45c - 125$.
Ответ: $0,216c^3 - 5,4c^2 + 45c - 125$.

4) Для выражения $(\frac{1}{2}d - 2)^3$ используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Здесь $x = \frac{1}{2}d$ и $y = 2$. Подставим значения в формулу: $(\frac{1}{2}d - 2)^3 = (\frac{1}{2}d)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{2}d)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (\frac{1}{2}d) \cdot 2^2 - 2^3$. Вычислим каждый член: $(\frac{1}{2}d)^3 = \frac{1}{8}d^3$. $3 \cdot (\frac{1}{2}d)^2 \cdot 2 = 3 \cdot \frac{1}{4}d^2 \cdot 2 = \frac{6}{4}d^2 = \frac{3}{2}d^2$. $3 \cdot (\frac{1}{2}d) \cdot 2^2 = 3 \cdot \frac{1}{2}d \cdot 4 = 6d$. $2^3 = 8$. Собрав все вместе, получаем: $\frac{1}{8}d^3 - \frac{3}{2}d^2 + 6d - 8$.
Ответ: $\frac{1}{8}d^3 - \frac{3}{2}d^2 + 6d - 8$.

5) Для того чтобы возвести выражение $(\frac{1}{3}t + 3)$ в куб, воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В нашем случае $x = \frac{1}{3}t$ и $y = 3$. Подставим эти значения в формулу: $(\frac{1}{3}t + 3)^3 = (\frac{1}{3}t)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}t)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}t) \cdot 3^2 + 3^3$. Теперь вычислим каждый член по отдельности: $(\frac{1}{3}t)^3 = \frac{1}{27}t^3$. $3 \cdot (\frac{1}{3}t)^2 \cdot 3 = 9 \cdot (\frac{1}{9}t^2) = t^2$. $3 \cdot (\frac{1}{3}t) \cdot 3^2 = t \cdot 9 = 9t$. $3^3 = 27$. Собрав все вместе, получаем: $\frac{1}{27}t^3 + t^2 + 9t + 27$.
Ответ: $\frac{1}{27}t^3 + t^2 + 9t + 27$.

6) Для выражения $(2 - \frac{1}{4}k)^3$ применим формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Здесь $x = 2$ и $y = \frac{1}{4}k$. Подставим значения в формулу: $(2 - \frac{1}{4}k)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (\frac{1}{4}k) + 3 \cdot 2 \cdot (\frac{1}{4}k)^2 - (\frac{1}{4}k)^3$. Вычислим каждый член: $2^3 = 8$. $3 \cdot 2^2 \cdot (\frac{1}{4}k) = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}k = 3k$. $3 \cdot 2 \cdot (\frac{1}{4}k)^2 = 6 \cdot (\frac{1}{16}k^2) = \frac{6}{16}k^2 = \frac{3}{8}k^2$. $(\frac{1}{4}k)^3 = \frac{1}{64}k^3$. Собрав все вместе, получаем: $8 - 3k + \frac{3}{8}k^2 - \frac{1}{64}k^3$.
Ответ: $8 - 3k + \frac{3}{8}k^2 - \frac{1}{64}k^3$.

33.4.

1) $(4x + 0.1y)^3$;

2) $(0.2a + 30b)^3$;

3) $(\frac{1}{7}a - 7c)^3$;

4) $(0.3b - 10c)^3$;

5) $(0.5x - 2y)^3$;

6) $(\frac{2}{9}n + \frac{9}{2}m)^3$.

1) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы двух выражений: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a = 4x$ и $b = 0,1y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(4x + 0,1y)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (0,1y) + 3 \cdot (4x) \cdot (0,1y)^2 + (0,1y)^3$

Теперь вычислим каждый член выражения по отдельности:

$(4x)^3 = 4^3 \cdot x^3 = 64x^3$

$3 \cdot (4x)^2 \cdot (0,1y) = 3 \cdot 16x^2 \cdot 0,1y = 48x^2 \cdot 0,1y = 4,8x^2y$

$3 \cdot (4x) \cdot (0,1y)^2 = 12x \cdot 0,01y^2 = 0,12xy^2$

$(0,1y)^3 = 0,1^3 \cdot y^3 = 0,001y^3$

Соберем все члены вместе и получим итоговый многочлен:

$64x^3 + 4,8x^2y + 0,12xy^2 + 0,001y^3$

Ответ: $64x^3 + 4,8x^2y + 0,12xy^2 + 0,001y^3$

2) Используем ту же формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Здесь $a = 0,2a$ и $b = 30b$.

$(0,2a + 30b)^3 = (0,2a)^3 + 3 \cdot (0,2a)^2 \cdot (30b) + 3 \cdot (0,2a) \cdot (30b)^2 + (30b)^3$

Вычисляем каждый член:

$(0,2a)^3 = 0,2^3 \cdot a^3 = 0,008a^3$

$3 \cdot (0,2a)^2 \cdot (30b) = 3 \cdot 0,04a^2 \cdot 30b = 0,12a^2 \cdot 30b = 3,6a^2b$

$3 \cdot (0,2a) \cdot (30b)^2 = 0,6a \cdot 900b^2 = 540ab^2$

$(30b)^3 = 30^3 \cdot b^3 = 27000b^3$

В результате получаем:

$0,008a^3 + 3,6a^2b + 540ab^2 + 27000b^3$

Ответ: $0,008a^3 + 3,6a^2b + 540ab^2 + 27000b^3$

3) Для этого выражения применим формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a = \frac{1}{7}a$ и $b = 7c$.

$(\frac{1}{7}a - 7c)^3 = (\frac{1}{7}a)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{7}a)^2 \cdot (7c) + 3 \cdot (\frac{1}{7}a) \cdot (7c)^2 - (7c)^3$

Выполним вычисления для каждого члена:

$(\frac{1}{7}a)^3 = \frac{1^3}{7^3}a^3 = \frac{1}{343}a^3$

$3 \cdot (\frac{1}{7}a)^2 \cdot (7c) = 3 \cdot \frac{1}{49}a^2 \cdot 7c = \frac{21}{49}a^2c = \frac{3}{7}a^2c$

$3 \cdot (\frac{1}{7}a) \cdot (7c)^2 = 3 \cdot \frac{1}{7}a \cdot 49c^2 = \frac{3 \cdot 49}{7}ac^2 = 3 \cdot 7ac^2 = 21ac^2$

$(7c)^3 = 7^3c^3 = 343c^3$

Собираем все члены:

$\frac{1}{343}a^3 - \frac{3}{7}a^2c + 21ac^2 - 343c^3$

Ответ: $\frac{1}{343}a^3 - \frac{3}{7}a^2c + 21ac^2 - 343c^3$

4) Используем формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Здесь $a = 0,3b$ и $b = 10c$.

$(0,3b - 10c)^3 = (0,3b)^3 - 3 \cdot (0,3b)^2 \cdot (10c) + 3 \cdot (0,3b) \cdot (10c)^2 - (10c)^3$

Вычисляем каждый член:

$(0,3b)^3 = 0,3^3 \cdot b^3 = 0,027b^3$

$3 \cdot (0,3b)^2 \cdot (10c) = 3 \cdot 0,09b^2 \cdot 10c = 0,27b^2 \cdot 10c = 2,7b^2c$

$3 \cdot (0,3b) \cdot (10c)^2 = 0,9b \cdot 100c^2 = 90bc^2$

$(10c)^3 = 10^3 \cdot c^3 = 1000c^3$

Итоговое выражение:

$0,027b^3 - 2,7b^2c + 90bc^2 - 1000c^3$

Ответ: $0,027b^3 - 2,7b^2c + 90bc^2 - 1000c^3$

5) Применим формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В этом случае $a = 0,5x$ и $b = 2y$.

$(0,5x - 2y)^3 = (0,5x)^3 - 3 \cdot (0,5x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot (0,5x) \cdot (2y)^2 - (2y)^3$

Вычисляем каждый член:

$(0,5x)^3 = 0,5^3 \cdot x^3 = 0,125x^3$

$3 \cdot (0,5x)^2 \cdot (2y) = 3 \cdot 0,25x^2 \cdot 2y = 0,75x^2 \cdot 2y = 1,5x^2y$

$3 \cdot (0,5x) \cdot (2y)^2 = 1,5x \cdot 4y^2 = 6xy^2$

$(2y)^3 = 2^3 \cdot y^3 = 8y^3$

Результат:

$0,125x^3 - 1,5x^2y + 6xy^2 - 8y^3$

Ответ: $0,125x^3 - 1,5x^2y + 6xy^2 - 8y^3$

6) Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Здесь $a = \frac{2}{9}n$ и $b = \frac{9}{2}m$.

$(\frac{2}{9}n + \frac{9}{2}m)^3 = (\frac{2}{9}n)^3 + 3 \cdot (\frac{2}{9}n)^2 \cdot (\frac{9}{2}m) + 3 \cdot (\frac{2}{9}n) \cdot (\frac{9}{2}m)^2 + (\frac{9}{2}m)^3$

Вычисляем каждый член по отдельности:

$(\frac{2}{9}n)^3 = \frac{2^3}{9^3}n^3 = \frac{8}{729}n^3$

$3 \cdot (\frac{2}{9}n)^2 \cdot (\frac{9}{2}m) = 3 \cdot \frac{4}{81}n^2 \cdot \frac{9}{2}m = \frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{81 \cdot 2}n^2m = \frac{108}{162}n^2m = \frac{2}{3}n^2m$

$3 \cdot (\frac{2}{9}n) \cdot (\frac{9}{2}m)^2 = 3 \cdot \frac{2}{9}n \cdot \frac{81}{4}m^2 = \frac{3 \cdot 2 \cdot 81}{9 \cdot 4}nm^2 = \frac{486}{36}nm^2 = \frac{27}{2}nm^2$

$(\frac{9}{2}m)^3 = \frac{9^3}{2^3}m^3 = \frac{729}{8}m^3$

Соберем все вместе:

$\frac{8}{729}n^3 + \frac{2}{3}n^2m + \frac{27}{2}nm^2 + \frac{729}{8}m^3$

Ответ: $\frac{8}{729}n^3 + \frac{2}{3}n^2m + \frac{27}{2}nm^2 + \frac{729}{8}m^3$

Представьте в виде куба двучлена многочлены (33.5–33.6):

33.5. 1) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1;$

2) $y^3 - 3y^2 + 3y - 1;$

3) $8 + 12p + 6p^2 + p^3;$

4) $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3;$

5) $125 - 75a + 15a^2 - a^3;$

6) $0,008 + 0,12p + 0,6p^2 + p^3.$

1)Для того чтобы представить многочлен $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ в виде куба двучлена, воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Сравним данный многочлен с формулой.Предположим, что $a^3 = x^3$, тогда $a = x$.Предположим, что $b^3 = 1$, тогда $b = 1$.
Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой формуле:
$-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$. Этот член совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Этот член также совпадает.
Так как все члены многочлена соответствуют развернутой формуле куба разности для $a=x$ и $b=1$, мы можем записать:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.
Ответ: $(x - 1)^3$.

2)Многочлен $y^3 - 3y^2 + 3y - 1$ также представляет собой формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
По аналогии с предыдущим примером, определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = y^3$, тогда $a = y$.
Пусть $b^3 = 1$, тогда $b = 1$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot y^2 \cdot 1 = -3y^2$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot y \cdot 1^2 = 3y$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде куба двучлена:
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 = (y - 1)^3$.
Ответ: $(y - 1)^3$.

3)Рассмотрим многочлен $8 + 12p + 6p^2 + p^3$. Этот многочлен соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 8$, тогда $a = \sqrt[3]{8} = 2$.
Пусть $b^3 = p^3$, тогда $b = p$.
Проверим средние члены:
$+3a^2b = +3 \cdot 2^2 \cdot p = 3 \cdot 4 \cdot p = 12p$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 2 \cdot p^2 = 6p^2$. Совпадает.
Таким образом, многочлен является кубом двучлена $(2+p)$:
$8 + 12p + 6p^2 + p^3 = (2 + p)^3$.
Ответ: $(2 + p)^3$.

4)Многочлен $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3$ соответствует формуле куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 1$, тогда $a = 1$.
Пусть $b^3 = 8q^3$, тогда $b = \sqrt[3]{8q^3} = 2q$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot 1^2 \cdot (2q) = -6q$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 1 \cdot (2q)^2 = 3 \cdot 4q^2 = 12q^2$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде:
$1 - 6q + 12q^2 - 8q^3 = (1 - 2q)^3$.
Ответ: $(1 - 2q)^3$.

5)Многочлен $125 - 75a + 15a^2 - a^3$ соответствует формуле куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 125$, тогда $a = \sqrt[3]{125} = 5$.
Пусть $b^3 = a^3$, тогда $b = a$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot 5^2 \cdot a = -3 \cdot 25 \cdot a = -75a$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 5 \cdot a^2 = 15a^2$. Совпадает.
Таким образом, многочлен является кубом двучлена $(5-a)$:
$125 - 75a + 15a^2 - a^3 = (5 - a)^3$.
Ответ: $(5 - a)^3$.

6)Рассмотрим многочлен $0.008 + 0.12p + 0.6p^2 + p^3$. Этот многочлен соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 0.008$, тогда $a = \sqrt[3]{0.008} = 0.2$.
Пусть $b^3 = p^3$, тогда $b = p$.
Проверим средние члены:
$+3a^2b = +3 \cdot (0.2)^2 \cdot p = 3 \cdot 0.04 \cdot p = 0.12p$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 0.2 \cdot p^2 = 0.6p^2$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде:
$0.008 + 0.12p + 0.6p^2 + p^3 = (0.2 + p)^3$.
Ответ: $(0.2 + p)^3$.

33.6.

1) $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$;

2) $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3$;

3) $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q$;

4) $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8.

1) Данное выражение $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$ является многочленом, который нужно представить в виде степени. Заметим, что оно соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Определим, чему равны $x$ и $y$ в нашем случае. Первый член $a^3$ соответствует $x^3$, значит $x=a$. Последний член $-8b^3$ соответствует $-y^3$, значит $y^3 = 8b^3 = (2b)^3$, откуда $y=2b$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения этой формуле:

Второй член должен быть $-3x^2y$. Подставляем наши значения: $-3 \cdot a^2 \cdot (2b) = -6a^2b$. Это совпадает со вторым членом исходного выражения.

Третий член должен быть $+3xy^2$. Подставляем наши значения: $+3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Это совпадает с третьим членом исходного выражения.

Поскольку все члены соответствуют формуле куба разности, мы можем записать:

$a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = (a - 2b)^3$.

Ответ: $(a - 2b)^3$

2) Рассмотрим выражение $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3$. Все знаки положительные, что указывает на формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первый член $27m^3 = (3m)^3$, значит $x=3m$. Последний член $n^3$, значит $y=n$.

Проверим соответствие средних членов:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (3m)^2 \cdot n = 3 \cdot 9m^2 \cdot n = 27m^2n$. Совпадает.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (3m) \cdot n^2 = 9mn^2$. Совпадает.

Следовательно, выражение является полным кубом суммы $(3m + n)$.

$27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3 = (3m)^3 + 3 \cdot (3m)^2 \cdot n + 3 \cdot (3m) \cdot n^2 + n^3 = (3m + n)^3$.

Ответ: $(3m + n)^3$

3) Дано выражение $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q$. Для удобства расположим члены в порядке убывания степени переменной $p$: $8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3$.

Это выражение напоминает формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первый член $8p^3 = (2p)^3$, значит $x=2p$. Последний член $27q^3 = (3q)^3$, значит $y=3q$.

Проверим средние члены:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (2p)^2 \cdot (3q) = 3 \cdot 4p^2 \cdot 3q = 36p^2q$. Совпадает.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (2p) \cdot (3q)^2 = 3 \cdot 2p \cdot 9q^2 = 54pq^2$. Совпадает.

Все члены соответствуют разложению куба суммы $(2p + 3q)$.

$8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3 = (2p)^3 + 3 \cdot (2p)^2 \cdot (3q) + 3 \cdot (2p) \cdot (3q)^2 + (3q)^3 = (2p + 3q)^3$.

Ответ: $(2p + 3q)^3$

4) Рассмотрим выражение $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8$. Чередование знаков +, -, +, - указывает на формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $x^3y^3 = (xy)^3$, значит $a=xy$. Последний член $-8 = -(2)^3$, значит $b=2$.

Проверим средние члены:

Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot (xy)^2 \cdot 2 = -3 \cdot x^2y^2 \cdot 2 = -6x^2y^2$. Совпадает.

Третий член: $+3ab^2 = +3 \cdot (xy) \cdot 2^2 = 3 \cdot xy \cdot 4 = 12xy$. Совпадает.

Выражение является полным кубом разности $(xy - 2)$.

$x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8 = (xy)^3 - 3 \cdot (xy)^2 \cdot 2 + 3 \cdot xy \cdot 2^2 - 2^3 = (xy - 2)^3$.

Ответ: $(xy - 2)^3$

33.7. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменной:

1) $(3a - 1)^3 - 27a^3 + 5$ при a = -1; 0; 1;

2) $(0.7b - 2)^3 - (0.7b + 2)^3$ при b = -2; -1; 1;

3) $(5x - 4)^3 + (5x - 2)^3 - 250x^3$ при x = 0.5; 0; -1;

4) $(0.2 + 5y)^3 - (0.5 + 2y)^3 - 117y^3$ при y = -1; 0; 2.

1) Сначала упростим выражение $(3a - 1)^3 - 27a^3 + 5$.

Для этого раскроем скобки, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(3a - 1)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3a) \cdot 1^2 - 1^3 = 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 + 9a - 1 = 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(27a^3 - 27a^2 + 9a - 1) - 27a^3 + 5$.

Приведем подобные слагаемые:

$27a^3 - 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 + 5 = -27a^2 + 9a + 4$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при заданных значениях $a$:

При $a = -1$: $-27(-1)^2 + 9(-1) + 4 = -27(1) - 9 + 4 = -27 - 9 + 4 = -32$.

При $a = 0$: $-27(0)^2 + 9(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.

При $a = 1$: $-27(1)^2 + 9(1) + 4 = -27 + 9 + 4 = -14$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-27a^2 + 9a + 4$. При $a=-1$ значение равно $-32$; при $a=0$ значение равно $4$; при $a=1$ значение равно $-14$.

2) Упростим выражение $(0,7b - 2)^3 - (0,7b + 2)^3$.

Раскроем скобки, используя формулы куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(0,7b - 2)^3 = (0,7b)^3 - 3 \cdot (0,7b)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 0,7b \cdot 2^2 - 2^3 = 0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8$.

$(0,7b + 2)^3 = (0,7b)^3 + 3 \cdot (0,7b)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 0,7b \cdot 2^2 + 2^3 = 0,343b^3 + 2,94b^2 + 8,4b + 8$.

Выполним вычитание:

$(0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8) - (0,343b^3 + 2,94b^2 + 8,4b + 8) = 0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8 - 0,343b^3 - 2,94b^2 - 8,4b - 8$.

Приводим подобные слагаемые: $-2,94b^2 - 2,94b^2 - 8 - 8 = -5,88b^2 - 16$.

Теперь найдем значения выражения при $b = -2; -1; 1$:

При $b = -2$: $-5,88(-2)^2 - 16 = -5,88 \cdot 4 - 16 = -23,52 - 16 = -39,52$.

При $b = -1$: $-5,88(-1)^2 - 16 = -5,88 \cdot 1 - 16 = -5,88 - 16 = -21,88$.

При $b = 1$: $-5,88(1)^2 - 16 = -5,88 \cdot 1 - 16 = -5,88 - 16 = -21,88$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-5,88b^2 - 16$. При $b=-2$ значение равно $-39,52$; при $b=-1$ значение равно $-21,88$; при $b=1$ значение равно $-21,88$.

3) Упростим выражение $(5x - 4)^3 + (5x - 2)^3 - 250x^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(5x - 4)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 4 + 3 \cdot 5x \cdot 4^2 - 4^3 = 125x^3 - 300x^2 + 240x - 64$.

$(5x - 2)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 - 2^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(125x^3 - 300x^2 + 240x - 64) + (125x^3 - 150x^2 + 60x - 8) - 250x^3$.

Приводим подобные слагаемые: $(125x^3 + 125x^3 - 250x^3) + (-300x^2 - 150x^2) + (240x + 60x) + (-64 - 8) = -450x^2 + 300x - 72$.

Найдем значения выражения при $x = 0,5; 0; -1$:

При $x = 0,5$: $-450(0,5)^2 + 300(0,5) - 72 = -450 \cdot 0,25 + 150 - 72 = -112,5 + 150 - 72 = -34,5$.

При $x = 0$: $-450(0)^2 + 300(0) - 72 = 0 + 0 - 72 = -72$.

При $x = -1$: $-450(-1)^2 + 300(-1) - 72 = -450 \cdot 1 - 300 - 72 = -450 - 300 - 72 = -822$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-450x^2 + 300x - 72$. При $x=0,5$ значение равно $-34,5$; при $x=0$ значение равно $-72$; при $x=-1$ значение равно $-822$.

4) Упростим выражение $(0,2 + 5y)^3 - (0,5 + 2y)^3 - 117y^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(0,2 + 5y)^3 = 0,2^3 + 3 \cdot 0,2^2 \cdot 5y + 3 \cdot 0,2 \cdot (5y)^2 + (5y)^3 = 0,008 + 0,6y + 15y^2 + 125y^3$.

$(0,5 + 2y)^3 = 0,5^3 + 3 \cdot 0,5^2 \cdot 2y + 3 \cdot 0,5 \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = 0,125 + 1,5y + 6y^2 + 8y^3$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(125y^3 + 15y^2 + 0,6y + 0,008) - (8y^3 + 6y^2 + 1,5y + 0,125) - 117y^3$.

Приводим подобные слагаемые: $(125y^3 - 8y^3 - 117y^3) + (15y^2 - 6y^2) + (0,6y - 1,5y) + (0,008 - 0,125) = 9y^2 - 0,9y - 0,117$.

Найдем значения выражения при $y = -1; 0; 2$:

При $y = -1$: $9(-1)^2 - 0,9(-1) - 0,117 = 9 \cdot 1 + 0,9 - 0,117 = 9,9 - 0,117 = 9,783$.

При $y = 0$: $9(0)^2 - 0,9(0) - 0,117 = 0 - 0 - 0,117 = -0,117$.

При $y = 2$: $9(2)^2 - 0,9(2) - 0,117 = 9 \cdot 4 - 1,8 - 0,117 = 36 - 1,8 - 0,117 = 34,2 - 0,117 = 34,083$.

Ответ: Упрощенное выражение: $9y^2 - 0,9y - 0,117$. При $y=-1$ значение равно $9,783$; при $y=0$ значение равно $-0,117$; при $y=2$ значение равно $34,083$.

Решите уравнения (33.8–33.9):

33.8. 1) $ (x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3); $

2) $ (1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y); $

3) $ (x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12; $

4) $ (1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1. $

1) $(x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, а в правой части умножим $x^2$ на многочлен в скобках.
$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3) - 4x = 5 + x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 4x = 5 + x^3 + 3x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$x^3 + 3x^2 - x + 1 = 5 + x^3 + 3x^2$
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а константы — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$x^3 + 3x^2 - x - x^3 - 3x^2 = 5 - 1$
Сократим подобные слагаемые.
$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 3x^2) - x = 4$
$0 + 0 - x = 4$
$-x = 4$
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$.
$x = -4$
Ответ: $-4$.

2) $(1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y)$
Раскроем скобки. В левой части используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В правой части раскроем скобки умножением.
$(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3) + 8y = 7 + y^2 \cdot 3 - y^2 \cdot y$
$1 - 3y + 3y^2 - y^3 + 8y = 7 + 3y^2 - y^3$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$1 + 5y + 3y^2 - y^3 = 7 + 3y^2 - y^3$
Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а константы — в правую.
$5y + 3y^2 - y^3 - 3y^2 + y^3 = 7 - 1$
Сократим подобные слагаемые.
$5y + (3y^2 - 3y^2) + (-y^3 + y^3) = 6$
$5y = 6$
Найдем $y$, разделив обе части на $5$.
$y = \frac{6}{5}$
$y = 1,2$
Ответ: $1,2$.

3) $(x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности.
$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 2x^3 = 12$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые.
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 2x^3 = 12$
Сгруппируем слагаемые.
$(x^3 + x^3 - 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 12$
$0 + 0 + 6x + 0 = 12$
$6x = 12$
Разделим обе части на $6$.
$x = \frac{12}{6}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

4) $(1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1$
Раскроем кубы суммы и разности.
$(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 + y^3) + (1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3) - 6y^2 = 3y - 1$
$(1 + 3y + 3y^2 + y^3) + (1 - 3y + 3y^2 - y^3) - 6y^2 = 3y - 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(1 + 1) + (3y - 3y) + (3y^2 + 3y^2 - 6y^2) + (y^3 - y^3) = 3y - 1$
$2 + 0 + (6y^2 - 6y^2) + 0 = 3y - 1$
$2 = 3y - 1$
Перенесем $-1$ в левую часть с противоположным знаком.
$2 + 1 = 3y$
$3 = 3y$
Найдем $y$.
$y = \frac{3}{3}$
$y = 1$
Ответ: $1$.