Номер 33.7, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.7. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменной:

1) $(3a - 1)^3 - 27a^3 + 5$ при a = -1; 0; 1;

2) $(0.7b - 2)^3 - (0.7b + 2)^3$ при b = -2; -1; 1;

3) $(5x - 4)^3 + (5x - 2)^3 - 250x^3$ при x = 0.5; 0; -1;

4) $(0.2 + 5y)^3 - (0.5 + 2y)^3 - 117y^3$ при y = -1; 0; 2.

1) Сначала упростим выражение $(3a - 1)^3 - 27a^3 + 5$.

Для этого раскроем скобки, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(3a - 1)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3a) \cdot 1^2 - 1^3 = 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 + 9a - 1 = 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(27a^3 - 27a^2 + 9a - 1) - 27a^3 + 5$.

Приведем подобные слагаемые:

$27a^3 - 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 + 5 = -27a^2 + 9a + 4$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при заданных значениях $a$:

При $a = -1$: $-27(-1)^2 + 9(-1) + 4 = -27(1) - 9 + 4 = -27 - 9 + 4 = -32$.

При $a = 0$: $-27(0)^2 + 9(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.

При $a = 1$: $-27(1)^2 + 9(1) + 4 = -27 + 9 + 4 = -14$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-27a^2 + 9a + 4$. При $a=-1$ значение равно $-32$; при $a=0$ значение равно $4$; при $a=1$ значение равно $-14$.

2) Упростим выражение $(0,7b - 2)^3 - (0,7b + 2)^3$.

Раскроем скобки, используя формулы куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(0,7b - 2)^3 = (0,7b)^3 - 3 \cdot (0,7b)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 0,7b \cdot 2^2 - 2^3 = 0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8$.

$(0,7b + 2)^3 = (0,7b)^3 + 3 \cdot (0,7b)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 0,7b \cdot 2^2 + 2^3 = 0,343b^3 + 2,94b^2 + 8,4b + 8$.

Выполним вычитание:

$(0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8) - (0,343b^3 + 2,94b^2 + 8,4b + 8) = 0,343b^3 - 2,94b^2 + 8,4b - 8 - 0,343b^3 - 2,94b^2 - 8,4b - 8$.

Приводим подобные слагаемые: $-2,94b^2 - 2,94b^2 - 8 - 8 = -5,88b^2 - 16$.

Теперь найдем значения выражения при $b = -2; -1; 1$:

При $b = -2$: $-5,88(-2)^2 - 16 = -5,88 \cdot 4 - 16 = -23,52 - 16 = -39,52$.

При $b = -1$: $-5,88(-1)^2 - 16 = -5,88 \cdot 1 - 16 = -5,88 - 16 = -21,88$.

При $b = 1$: $-5,88(1)^2 - 16 = -5,88 \cdot 1 - 16 = -5,88 - 16 = -21,88$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-5,88b^2 - 16$. При $b=-2$ значение равно $-39,52$; при $b=-1$ значение равно $-21,88$; при $b=1$ значение равно $-21,88$.

3) Упростим выражение $(5x - 4)^3 + (5x - 2)^3 - 250x^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(5x - 4)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 4 + 3 \cdot 5x \cdot 4^2 - 4^3 = 125x^3 - 300x^2 + 240x - 64$.

$(5x - 2)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 - 2^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(125x^3 - 300x^2 + 240x - 64) + (125x^3 - 150x^2 + 60x - 8) - 250x^3$.

Приводим подобные слагаемые: $(125x^3 + 125x^3 - 250x^3) + (-300x^2 - 150x^2) + (240x + 60x) + (-64 - 8) = -450x^2 + 300x - 72$.

Найдем значения выражения при $x = 0,5; 0; -1$:

При $x = 0,5$: $-450(0,5)^2 + 300(0,5) - 72 = -450 \cdot 0,25 + 150 - 72 = -112,5 + 150 - 72 = -34,5$.

При $x = 0$: $-450(0)^2 + 300(0) - 72 = 0 + 0 - 72 = -72$.

При $x = -1$: $-450(-1)^2 + 300(-1) - 72 = -450 \cdot 1 - 300 - 72 = -450 - 300 - 72 = -822$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-450x^2 + 300x - 72$. При $x=0,5$ значение равно $-34,5$; при $x=0$ значение равно $-72$; при $x=-1$ значение равно $-822$.

4) Упростим выражение $(0,2 + 5y)^3 - (0,5 + 2y)^3 - 117y^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(0,2 + 5y)^3 = 0,2^3 + 3 \cdot 0,2^2 \cdot 5y + 3 \cdot 0,2 \cdot (5y)^2 + (5y)^3 = 0,008 + 0,6y + 15y^2 + 125y^3$.

$(0,5 + 2y)^3 = 0,5^3 + 3 \cdot 0,5^2 \cdot 2y + 3 \cdot 0,5 \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = 0,125 + 1,5y + 6y^2 + 8y^3$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(125y^3 + 15y^2 + 0,6y + 0,008) - (8y^3 + 6y^2 + 1,5y + 0,125) - 117y^3$.

Приводим подобные слагаемые: $(125y^3 - 8y^3 - 117y^3) + (15y^2 - 6y^2) + (0,6y - 1,5y) + (0,008 - 0,125) = 9y^2 - 0,9y - 0,117$.

Найдем значения выражения при $y = -1; 0; 2$:

При $y = -1$: $9(-1)^2 - 0,9(-1) - 0,117 = 9 \cdot 1 + 0,9 - 0,117 = 9,9 - 0,117 = 9,783$.

При $y = 0$: $9(0)^2 - 0,9(0) - 0,117 = 0 - 0 - 0,117 = -0,117$.

При $y = 2$: $9(2)^2 - 0,9(2) - 0,117 = 9 \cdot 4 - 1,8 - 0,117 = 36 - 1,8 - 0,117 = 34,2 - 0,117 = 34,083$.

Ответ: Упрощенное выражение: $9y^2 - 0,9y - 0,117$. При $y=-1$ значение равно $9,783$; при $y=0$ значение равно $-0,117$; при $y=2$ значение равно $34,083$.