Номер 33.5, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде куба двучлена многочлены (33.5–33.6):

33.5. 1) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1;$

2) $y^3 - 3y^2 + 3y - 1;$

3) $8 + 12p + 6p^2 + p^3;$

4) $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3;$

5) $125 - 75a + 15a^2 - a^3;$

6) $0,008 + 0,12p + 0,6p^2 + p^3.$

1)Для того чтобы представить многочлен $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ в виде куба двучлена, воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Сравним данный многочлен с формулой.Предположим, что $a^3 = x^3$, тогда $a = x$.Предположим, что $b^3 = 1$, тогда $b = 1$.
Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой формуле:
$-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$. Этот член совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Этот член также совпадает.
Так как все члены многочлена соответствуют развернутой формуле куба разности для $a=x$ и $b=1$, мы можем записать:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.
Ответ: $(x - 1)^3$.

2)Многочлен $y^3 - 3y^2 + 3y - 1$ также представляет собой формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
По аналогии с предыдущим примером, определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = y^3$, тогда $a = y$.
Пусть $b^3 = 1$, тогда $b = 1$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot y^2 \cdot 1 = -3y^2$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot y \cdot 1^2 = 3y$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде куба двучлена:
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 = (y - 1)^3$.
Ответ: $(y - 1)^3$.

3)Рассмотрим многочлен $8 + 12p + 6p^2 + p^3$. Этот многочлен соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 8$, тогда $a = \sqrt[3]{8} = 2$.
Пусть $b^3 = p^3$, тогда $b = p$.
Проверим средние члены:
$+3a^2b = +3 \cdot 2^2 \cdot p = 3 \cdot 4 \cdot p = 12p$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 2 \cdot p^2 = 6p^2$. Совпадает.
Таким образом, многочлен является кубом двучлена $(2+p)$:
$8 + 12p + 6p^2 + p^3 = (2 + p)^3$.
Ответ: $(2 + p)^3$.

4)Многочлен $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3$ соответствует формуле куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 1$, тогда $a = 1$.
Пусть $b^3 = 8q^3$, тогда $b = \sqrt[3]{8q^3} = 2q$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot 1^2 \cdot (2q) = -6q$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 1 \cdot (2q)^2 = 3 \cdot 4q^2 = 12q^2$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде:
$1 - 6q + 12q^2 - 8q^3 = (1 - 2q)^3$.
Ответ: $(1 - 2q)^3$.

5)Многочлен $125 - 75a + 15a^2 - a^3$ соответствует формуле куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 125$, тогда $a = \sqrt[3]{125} = 5$.
Пусть $b^3 = a^3$, тогда $b = a$.
Проверим средние члены:
$-3a^2b = -3 \cdot 5^2 \cdot a = -3 \cdot 25 \cdot a = -75a$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 5 \cdot a^2 = 15a^2$. Совпадает.
Таким образом, многочлен является кубом двучлена $(5-a)$:
$125 - 75a + 15a^2 - a^3 = (5 - a)^3$.
Ответ: $(5 - a)^3$.

6)Рассмотрим многочлен $0.008 + 0.12p + 0.6p^2 + p^3$. Этот многочлен соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Пусть $a^3 = 0.008$, тогда $a = \sqrt[3]{0.008} = 0.2$.
Пусть $b^3 = p^3$, тогда $b = p$.
Проверим средние члены:
$+3a^2b = +3 \cdot (0.2)^2 \cdot p = 3 \cdot 0.04 \cdot p = 0.12p$. Совпадает.
$+3ab^2 = +3 \cdot 0.2 \cdot p^2 = 0.6p^2$. Совпадает.
Следовательно, многочлен можно представить в виде:
$0.008 + 0.12p + 0.6p^2 + p^3 = (0.2 + p)^3$.
Ответ: $(0.2 + p)^3$.