Номер 33.10, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.10. Докажите тождество:

1) $(3a + b)^3 - (a + 3b)^3 - 18ab(a - b) = 26(a^3 - b^3);$

2) $(x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = 65(x^3 - y^3).$

1) Чтобы доказать тождество $(3a + b)^3 - (a + 3b)^3 - 18ab(a - b) = 26(a^3 - b^3)$, мы преобразуем его левую часть. Сначала раскроем кубы, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(3a + b)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot b + 3 \cdot (3a) \cdot b^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$.
$(a + 3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (3b) + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$.
Далее раскроем скобки в выражении $-18ab(a - b)$:
$-18ab(a - b) = -18a^2b + 18ab^2$.
Теперь подставим все раскрытые выражения в левую часть исходного равенства:
$(27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3) - (a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3) - 18a^2b + 18ab^2$.
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3 - a^3 - 9a^2b - 27ab^2 - 27b^3 - 18a^2b + 18ab^2 = $
$= (27a^3 - a^3) + (b^3 - 27b^3) + (27a^2b - 9a^2b - 18a^2b) + (9ab^2 - 27ab^2 + 18ab^2) = $
$= 26a^3 - 26b^3 + (18a^2b - 18a^2b) + (-18ab^2 + 18ab^2) = 26a^3 - 26b^3$.
Правая часть тождества равна $26(a^3 - b^3) = 26a^3 - 26b^3$.
Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = 65(x^3 - y^3)$, преобразуем его левую часть. Раскроем кубы, используя формулы куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
$(x + 4y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (4y) + 3 \cdot x \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3$.
$(4x - y)^3 = (4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot y + 3 \cdot (4x) \cdot y^2 - y^3 = 64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$.
Раскроем скобки в выражении $12xy(3x - 5y)$:
$12xy(3x - 5y) = 36x^2y - 60xy^2$.
Подставим все полученные выражения в левую часть равенства:
$(x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3) + (64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3) + 36x^2y - 60xy^2 - 128y^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 64x^3) + (64y^3 - y^3 - 128y^3) + (12x^2y - 48x^2y + 36x^2y) + (48xy^2 + 12xy^2 - 60xy^2) = $
$= 65x^3 - 65y^3 + (48x^2y - 48x^2y) + (60xy^2 - 60xy^2) = 65x^3 - 65y^3$.
Правая часть тождества равна $65(x^3 - y^3) = 65x^3 - 65y^3$.
Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.