Номер 33.15, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (33.15–33.16):

33.15. 1) $(x+2)^3 - (x-2)^3 = 2x (6x + 2);$

2) $(x+3)^3 - (x-4)^3 = 21x^2 + 7;$

3) $(x+2)^3 + 3x^2 - 11 = (x+3)^3;$

4) $(x-3)^3 = x^2(x-9) + 27.$

1) $(x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 2x(6x + 2)$

Для решения раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. Используем формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Раскроем скобки в левой части:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Теперь вычтем второе из первого:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 12x^2 + 16$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2x(6x + 2) = 12x^2 + 4x$

Приравниваем полученные выражения и решаем уравнение:

$12x^2 + 16 = 12x^2 + 4x$

Вычтем $12x^2$ из обеих частей:

$16 = 4x$

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Ответ: $4$

2) $(x + 3)^3 - (x - 4)^3 = 21x^2 + 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулы куба суммы и куба разности.

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-4)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 12x^2 + 48x - 64) = 21x^2 + 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 12x^2 - 48x + 64 = 21x^2 + 7$

$(9x^2 + 12x^2) + (27x - 48x) + (27 + 64) = 21x^2 - 21x + 91$

Теперь уравнение имеет вид:

$21x^2 - 21x + 91 = 21x^2 + 7$

Вычтем $21x^2$ из обеих частей:

$-21x + 91 = 7$

Перенесем $91$ в правую часть:

$-21x = 7 - 91$

$-21x = -84$

$x = \frac{-84}{-21}$

$x = 4$

Ответ: $4$

3) $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x + 3)^3$

Раскроем кубы в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 3x^2 - 11 = x^3 + 9x^2 + 12x - 3$

Правая часть: $(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Приравниваем обе части:

$x^3 + 9x^2 + 12x - 3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Сокращаем одинаковые члены $x^3$ и $9x^2$ в обеих частях:

$12x - 3 = 27x + 27$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-3 - 27 = 27x - 12x$

$-30 = 15x$

$x = \frac{-30}{15}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

4) $(x - 3)^3 = x^2(x - 9) + 27$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Правая часть: $x^2(x - 9) + 27 = x^3 - 9x^2 + 27$

Приравниваем полученные выражения:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = x^3 - 9x^2 + 27$

Сокращаем одинаковые члены $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях:

$27x - 27 = 27$

Перенесем $-27$ в правую часть:

$27x = 27 + 27$

$27x = 54$

$x = \frac{54}{27}$

$x = 2$

Ответ: $2$