Номер 33.18, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.18. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства::

1) $(x-7)^3 + 42x^2 \ge (x+7)^3 + 14 - 7x;$

2) $(6+x)^3 - 220 \le 2x^3 - (x-6)^3 + 19.$

1) $(x - 7)^3 + 42x^2 \ge (x + 7)^3 + 14 - 7x$

Для решения данного неравенства раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Левая часть: $(x - 7)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 - 7^3 = x^3 - 21x^2 + 147x - 343$.

Правая часть: $(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

Подставим раскрытые скобки в исходное неравенство:

$(x^3 - 21x^2 + 147x - 343) + 42x^2 \ge (x^3 + 21x^2 + 147x + 343) + 14 - 7x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$x^3 + (-21x^2 + 42x^2) + 147x - 343 \ge x^3 + 21x^2 + (147x - 7x) + (343 + 14)$

$x^3 + 21x^2 + 147x - 343 \ge x^3 + 21x^2 + 140x + 357$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Члены $x^3$ и $21x^2$ присутствуют в обеих частях с одинаковыми знаками, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе.

$147x - 140x \ge 357 + 343$

$7x \ge 700$

Разделим обе части неравенства на 7:

$x \ge 100$

Решением неравенства является числовой промежуток $[100; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, это 100.

Ответ: 100.

2) $(6 + x)^3 - 220x \le 2x^3 - (x - 6)^3 + 19$

Перепишем неравенство в более удобном виде $(x+6)^3$ и перенесем слагаемое $-(x-6)^3$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x + 6)^3 + (x - 6)^3 - 220x \le 2x^3 + 19$

Раскроем скобки, используя формулы куба суммы и куба разности:

$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 + 6^3) + (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3) - 220x \le 2x^3 + 19$

Выполним вычисления:

$(x^3 + 18x^2 + 108x + 216) + (x^3 - 18x^2 + 108x - 216) - 220x \le 2x^3 + 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства. Обратим внимание, что некоторые слагаемые взаимно уничтожаются:

$(x^3 + x^3) + (18x^2 - 18x^2) + (108x + 108x - 220x) + (216 - 216) \le 2x^3 + 19$

$2x^3 + 0x^2 + (216x - 220x) + 0 \le 2x^3 + 19$

$2x^3 - 4x \le 2x^3 + 19$

Вычтем $2x^3$ из обеих частей неравенства:

$-4x \le 19$

Разделим обе части на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x \ge \frac{19}{-4}$

$x \ge -4,75$

Решением неравенства является числовой промежуток $[-4,75; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число из этого промежутка. Первое целое число, которое больше или равно -4,75, это -4.

Ответ: -4.