Номер 33.19, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.19. Докажите тождество:

1) $(b+5)^3 - b(b-5)^2 - 25(1+b)^2 = 100;$

2) $5(1-b)^3 + 5b(1+b)^2 - (1-5b)^2 = 4;$

3) $(2b-3)^3 - 4b^2(2b-6) + 6b(2b-9) = -27;$

4) $(b+2)^3 + (2b+1)^3 - 9b(b^2+2b+2) - 10 = -1.$

1) Докажем тождество $(b + 5)^3 - b(b - 5)^2 - 25(1 + b)^2 = 100$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: куб суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

1. Раскроем первый член: $(b + 5)^3 = b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 5 + 3 \cdot b \cdot 5^2 + 5^3 = b^3 + 15b^2 + 75b + 125$.

2. Раскроем второй член: $-b(b - 5)^2 = -b(b^2 - 10b + 25) = -b^3 + 10b^2 - 25b$.

3. Раскроем третий член: $-25(1 + b)^2 = -25(1 + 2b + b^2) = -25 - 50b - 25b^2$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$(b^3 + 15b^2 + 75b + 125) + (-b^3 + 10b^2 - 25b) + (-25 - 50b - 25b^2) = $

$= b^3 + 15b^2 + 75b + 125 - b^3 + 10b^2 - 25b - 25 - 50b - 25b^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (75b - 25b - 50b) + (125 - 25) = 0 + 0 + 0 + 100 = 100$.

Левая часть равна $100$, что соответствует правой части. Таким образом, равенство $100 = 100$ является верным, и тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $5(1 - b)^3 + 5b(1 + b)^2 - (1 - 5b)^2 = 4$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$5(1 - b)^3 = 5(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 - b^3) = 5(1 - 3b + 3b^2 - b^3) = 5 - 15b + 15b^2 - 5b^3$.

$5b(1 + b)^2 = 5b(1 + 2b + b^2) = 5b + 10b^2 + 5b^3$.

$-(1 - 5b)^2 = -(1 - 10b + 25b^2) = -1 + 10b - 25b^2$.

Подставим полученные выражения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(5 - 15b + 15b^2 - 5b^3) + (5b + 10b^2 + 5b^3) + (-1 + 10b - 25b^2) = $

$= 5 - 15b + 15b^2 - 5b^3 + 5b + 10b^2 + 5b^3 - 1 + 10b - 25b^2$.

Сгруппируем подобные члены:

$(-5b^3 + 5b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (-15b + 5b + 10b) + (5 - 1) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4$.

Левая часть равна $4$, следовательно, равенство $4 = 4$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $(2b - 3)^3 - 4b^2(2b - 6) + 6b(2b - 9) = -27$.

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки:

$(2b - 3)^3 = (2b)^3 - 3 \cdot (2b)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2b \cdot 3^2 - 3^3 = 8b^3 - 36b^2 + 54b - 27$.

$-4b^2(2b - 6) = -8b^3 + 24b^2$.

$6b(2b - 9) = 12b^2 - 54b$.

Сложим полученные выражения:

$(8b^3 - 36b^2 + 54b - 27) - 8b^3 + 24b^2 + 12b^2 - 54b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8b^3 - 8b^3) + (-36b^2 + 24b^2 + 12b^2) + (54b - 54b) - 27 = 0 + 0 + 0 - 27 = -27$.

Получили, что левая часть равна $-27$, следовательно, равенство $-27 = -27$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $(b + 2)^3 + (2b + 1)^3 - 9b(b^2 + 2b + 2) - 10 = -1$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв все скобки:

$(b + 2)^3 = b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 2 + 3 \cdot b \cdot 2^2 + 2^3 = b^3 + 6b^2 + 12b + 8$.

$(2b + 1)^3 = (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2b \cdot 1^2 + 1^3 = 8b^3 + 12b^2 + 6b + 1$.

$-9b(b^2 + 2b + 2) = -9b^3 - 18b^2 - 18b$.

Подставим все в левую часть и добавим оставшийся член $-10$:

$(b^3 + 6b^2 + 12b + 8) + (8b^3 + 12b^2 + 6b + 1) - 9b^3 - 18b^2 - 18b - 10$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^3 + 8b^3 - 9b^3) + (6b^2 + 12b^2 - 18b^2) + (12b + 6b - 18b) + (8 + 1 - 10) = 0 + 0 + 0 - 1 = -1$.

Левая часть тождественно равна $-1$, следовательно, равенство $-1 = -1$ верно. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.