Номер 33.21, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.21. Выполните действия:

1) $(a + 2b)(a^2 + ab + b^2);$

2) $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2).$

1) Чтобы выполнить умножение многочленов, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и затем сложить полученные результаты.
$(a + 2b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) + 2b \cdot (a^2 + ab + b^2)$
Раскрываем скобки, умножая каждый член:
$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 + 2b \cdot a^2 + 2b \cdot ab + 2b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + 2b^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b + 2a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + 2b^3$
Складываем подобные члены:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$
Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$

2) Данное выражение является примером формулы сокращенного умножения, а именно разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.
Давайте определим $x$ и $y$ для нашего случая:
Пусть $x = a$ и $y = 3b$.
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2 + 3ab + 9b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:
$x^2 = a^2$
$xy = a \cdot (3b) = 3ab$
$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$
Второй множитель полностью совпадает с формулой.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$
В качестве проверки можно выполнить умножение "в лоб":
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a(a^2 + 3ab + 9b^2) - 3b(a^2 + 3ab + 9b^2)$
$= a^3 + 3a^2b + 9ab^2 - 3a^2b - 9ab^2 - 27b^3$
Сокращаем подобные члены:
$a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (9ab^2 - 9ab^2) - 27b^3 = a^3 - 27b^3$
Ответ: $a^3 - 27b^3$