Номер 33.20, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.20. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x;$

2) $(a - 1)^3 + 3(a - 1)^2 + 3(a - 1) + 1 - a^3;$

3) $(x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x + y)^2 - 8x^3y^3;$

4) $(m - 3n)^3 - (2m - 3n)(3mn + (m - 3n)^2) + m^3.$

1) $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x$

Для доказательства тождества преобразуем левую часть выражения. Сначала вынесем общий множитель $(a+x)^2$ за скобки в первых двух слагаемых:

$(a+x)^2((a+x)-a) - x^2(2a+x) - a^2x = (a+x)^2 \cdot x - x^2(2a+x) - a^2x$

Теперь раскроем оставшиеся скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+x)^2 = a^2+2ax+x^2$:

$x(a^2+2ax+x^2) - (2ax^2+x^3) - a^2x = a^2x + 2ax^2 + x^3 - 2ax^2 - x^3 - a^2x$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(a^2x - a^2x) + (2ax^2 - 2ax^2) + (x^3 - x^3) = 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

2) $(a-1)^3 + 3(a-1)^2 + 3(a-1) + 1 - a^3$

Заметим, что первые четыре слагаемых в выражении соответствуют формуле куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Пусть $x = a-1$ и $y = 1$. Тогда часть выражения $(a-1)^3 + 3(a-1)^2 \cdot 1 + 3(a-1) \cdot 1^2 + 1^3$ можно свернуть по этой формуле:

$((a-1)+1)^3 = a^3$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$a^3 - a^3 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любом значении переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

3) $(x^3+y^3)^2 - (x^2+y^2)^3 + 3x^2y^2(x+y)^2 - 8x^3y^3$

Для доказательства тождества раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и куб суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

1. $(x^3+y^3)^2 = (x^3)^2 + 2x^3y^3 + (y^3)^2 = x^6 + 2x^3y^3 + y^6$.

2. $(x^2+y^2)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2y^2 + 3x^2(y^2)^2 + (y^2)^3 = x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6$.

3. $3x^2y^2(x+y)^2 = 3x^2y^2(x^2+2xy+y^2) = 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4$.

Теперь подставим раскрытые выражения в исходное равенство:

$(x^6 + 2x^3y^3 + y^6) - (x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6) + (3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4) - 8x^3y^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^6 + 2x^3y^3 + y^6 - x^6 - 3x^4y^2 - 3x^2y^4 - y^6 + 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4 - 8x^3y^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^6 - x^6) + (y^6 - y^6) + (2x^3y^3 + 6x^3y^3 - 8x^3y^3) + (-3x^4y^2 + 3x^4y^2) + (-3x^2y^4 + 3x^2y^4) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 0

4) $(m-3n)^3 - (2m-3n)(3mn+(m-3n)^2) + m^3$

Сначала упростим выражение в скобках во втором слагаемом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$3mn + (m-3n)^2 = 3mn + (m^2 - 6mn + 9n^2) = m^2 - 3mn + 9n^2$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(m-3n)^3 - (2m-3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) + m^3$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Второе слагаемое является произведением многочленов.

1. $(m-3n)^3 = m^3 - 3m^2(3n) + 3m(3n)^2 - (3n)^3 = m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3$.

2. $(2m-3n)(m^2 - 3mn + 9n^2) = 2m(m^2 - 3mn + 9n^2) - 3n(m^2 - 3mn + 9n^2) = (2m^3 - 6m^2n + 18mn^2) - (3m^2n - 9mn^2 + 27n^3) = 2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) - (2m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3) + m^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^3 - 9m^2n + 27mn^2 - 27n^3 - 2m^3 + 9m^2n - 27mn^2 + 27n^3 + m^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(m^3 - 2m^3 + m^3) + (-9m^2n + 9m^2n) + (27mn^2 - 27mn^2) + (-27n^3 + 27n^3) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 0