Номер 33.13, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (33.13–33.14):

33.13. 1) $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10$;

2) $(x - 2)^3 + 20(2x - 1)^3 + x(x - 5)$;

3) $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2)$;

4) $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2$.

1) Упростим выражение $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10$.
Для этого раскроем скобки в каждом слагаемом, используя формулы сокращенного умножения и правило дистрибутивности.
1. Раскроем куб суммы $(x^2 + 1)^3$ по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(x^2 + 1)^3 = (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 1 + 3 \cdot x^2 \cdot 1^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$.
2. Раскроем квадрат разности $(x^2 - 1)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и умножим на $-3$:
$-3(x^2 - 1)^2 = -3((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2) = -3(x^4 - 2x^2 + 1) = -3x^4 + 6x^2 - 3$.
3. Раскроем скобки в выражении $-5x(x - 2)$:
$-5x(x - 2) = -5x^2 + 10x$.
4. Теперь сложим все полученные части и константу $10$:
$(x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) + (-3x^4 + 6x^2 - 3) + (-5x^2 + 10x) + 10$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$x^6 + (3x^4 - 3x^4) + (3x^2 + 6x^2 - 5x^2) + 10x + (1 - 3 + 10) = x^6 + 4x^2 + 10x + 8$.
Ответ: $x^6 + 4x^2 + 10x + 8$.

2) Упростим выражение $(x - 2)^3 + 20(2x - 1) + x(x - 5)$.
1. Раскроем куб разности $(x - 2)^3$ по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
2. Раскроем скобки $20(2x - 1)$:
$20 \cdot 2x - 20 \cdot 1 = 40x - 20$.
3. Раскроем скобки $x(x - 5)$:
$x \cdot x - x \cdot 5 = x^2 - 5x$.
4. Сложим все полученные выражения:
$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + (40x - 20) + (x^2 - 5x)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-6x^2 + x^2) + (12x + 40x - 5x) + (-8 - 20) = x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.
Ответ: $x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.

3) Упростим выражение $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2)$.
1. Раскроем куб разности $(1 - 3y)^3$:
$1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (3y) + 3 \cdot 1 \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 1 - 9y + 27y^2 - 27y^3$.
2. Раскроем куб суммы $(y + 3)^3$ и умножим на $-3$:
$-3(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 3 + 3 \cdot y \cdot 3^2 + 3^3) = -3(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = -3y^3 - 27y^2 - 81y - 81$.
3. Раскроем скобки $10y(y^2 - 2)$:
$10y \cdot y^2 - 10y \cdot 2 = 10y^3 - 20y$.
4. Сложим все полученные части:
$(1 - 9y + 27y^2 - 27y^3) + (-3y^3 - 27y^2 - 81y - 81) + (10y^3 - 20y)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(-27y^3 - 3y^3 + 10y^3) + (27y^2 - 27y^2) + (-9y - 81y - 20y) + (1 - 81) = -20y^3 - 110y - 80$.
Ответ: $-20y^3 - 110y - 80$.

4) Упростим выражение $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2$.
1. Раскроем куб суммы $(y^3 + 2)^3$:
$(y^3)^3 + 3 \cdot (y^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot y^3 \cdot 2^2 + 2^3 = y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8$.
2. Раскроем скобки $-y^6(y^3 - 6)$:
$-y^6 \cdot y^3 - y^6 \cdot (-6) = -y^9 + 6y^6$.
3. Раскроем квадрат разности $2(y - 2)^2$:
$2(y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) = 2(y^2 - 4y + 4) = 2y^2 - 8y + 8$.
4. Сложим все полученные части:
$(y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8) + (-y^9 + 6y^6) + (2y^2 - 8y + 8)$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(y^9 - y^9) + (6y^6 + 6y^6) + 12y^3 + 2y^2 - 8y + (8 + 8) = 12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.
Ответ: $12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.