Номер 33.8, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (33.8–33.9):

33.8. 1) $ (x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3); $

2) $ (1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y); $

3) $ (x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12; $

4) $ (1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1. $

1) $(x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, а в правой части умножим $x^2$ на многочлен в скобках.
$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3) - 4x = 5 + x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 4x = 5 + x^3 + 3x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$x^3 + 3x^2 - x + 1 = 5 + x^3 + 3x^2$
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а константы — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$x^3 + 3x^2 - x - x^3 - 3x^2 = 5 - 1$
Сократим подобные слагаемые.
$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 3x^2) - x = 4$
$0 + 0 - x = 4$
$-x = 4$
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$.
$x = -4$
Ответ: $-4$.

2) $(1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y)$
Раскроем скобки. В левой части используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В правой части раскроем скобки умножением.
$(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3) + 8y = 7 + y^2 \cdot 3 - y^2 \cdot y$
$1 - 3y + 3y^2 - y^3 + 8y = 7 + 3y^2 - y^3$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$1 + 5y + 3y^2 - y^3 = 7 + 3y^2 - y^3$
Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а константы — в правую.
$5y + 3y^2 - y^3 - 3y^2 + y^3 = 7 - 1$
Сократим подобные слагаемые.
$5y + (3y^2 - 3y^2) + (-y^3 + y^3) = 6$
$5y = 6$
Найдем $y$, разделив обе части на $5$.
$y = \frac{6}{5}$
$y = 1,2$
Ответ: $1,2$.

3) $(x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности.
$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 2x^3 = 12$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые.
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 2x^3 = 12$
Сгруппируем слагаемые.
$(x^3 + x^3 - 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 12$
$0 + 0 + 6x + 0 = 12$
$6x = 12$
Разделим обе части на $6$.
$x = \frac{12}{6}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

4) $(1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1$
Раскроем кубы суммы и разности.
$(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 + y^3) + (1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3) - 6y^2 = 3y - 1$
$(1 + 3y + 3y^2 + y^3) + (1 - 3y + 3y^2 - y^3) - 6y^2 = 3y - 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(1 + 1) + (3y - 3y) + (3y^2 + 3y^2 - 6y^2) + (y^3 - y^3) = 3y - 1$
$2 + 0 + (6y^2 - 6y^2) + 0 = 3y - 1$
$2 = 3y - 1$
Перенесем $-1$ в левую часть с противоположным знаком.
$2 + 1 = 3y$
$3 = 3y$
Найдем $y$.
$y = \frac{3}{3}$
$y = 1$
Ответ: $1$.