Номер 33.12, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.12. Представьте в виде куба двучлена многочлен:

1) $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3;$

2) $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5 b^6 + 27b^9;$

3) $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008 b^{12};$

4) $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}.$

1) Чтобы представить многочлен $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3$ в виде куба двучлена, необходимо использовать формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Чередующиеся знаки "минус" и "плюс" в данном многочлене указывают именно на эту формулу.

Определим значения $a$ и $b$. Первый член многочлена $8x^3$ соответствует $a^3$, а последний член $125y^3$ соответствует $b^3$.

$a^3 = 8x^3 \implies a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$b^3 = 125y^3 \implies b = \sqrt[3]{125y^3} = 5y$

Теперь выполним проверку для средних членов, подставив $a=2x$ и $b=5y$ в формулу:

Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot (5y) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 5y = 60x^2y$.

Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot (5y)^2 = 6x \cdot 25y^2 = 150xy^2$.

Полученные члены полностью совпадают с членами исходного многочлена. Следовательно, выражение является кубом разности $(2x - 5y)$.

Ответ: $(2x - 5y)^3$.

2) Для многочлена $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5b^6 + 27b^9$ все знаки положительные, что соответствует формуле куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Определим $a$ и $b$ из первого и последнего членов:

$a^3 = 64a^{15} \implies a = \sqrt[3]{64a^{15}} = 4a^5$

$b^3 = 27b^9 \implies b = \sqrt[3]{27b^9} = 3b^3$

Проверим средние члены с $a=4a^5$ и $b=3b^3$:

$3a^2b = 3 \cdot (4a^5)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot 16a^{10} \cdot 3b^3 = 144a^{10}b^3$.

$3ab^2 = 3 \cdot (4a^5) \cdot (3b^3)^2 = 12a^5 \cdot 9b^6 = 108a^5b^6$.

Члены совпадают, значит, многочлен является кубом суммы $(4a^5 + 3b^3)$.

Ответ: $(4a^5 + 3b^3)^3$.

3) В многочлене $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008b^{12}$ знаки чередуются, что указывает на формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$:

$a^3 = 0,125a^9 \implies a = \sqrt[3]{0,125a^9} = 0,5a^3$

$b^3 = 0,008b^{12} \implies b = \sqrt[3]{0,008b^{12}} = 0,2b^4$

Проверим средние члены, используя $a=0,5a^3$ и $b=0,2b^4$:

$3a^2b = 3 \cdot (0,5a^3)^2 \cdot (0,2b^4) = 3 \cdot 0,25a^6 \cdot 0,2b^4 = 0,75a^6 \cdot 0,2b^4 = 0,15a^6b^4$.

$3ab^2 = 3 \cdot (0,5a^3) \cdot (0,2b^4)^2 = 1,5a^3 \cdot 0,04b^8 = 0,06a^3b^8$.

Соответствие полное, следовательно, выражение равно $(0,5a^3 - 0,2b^4)^3$.

Ответ: $(0,5a^3 - 0,2b^4)^3$.

4) В многочлене $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}$ все знаки "плюс", поэтому применяем формулу куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Находим $a$ и $b$:

$a^3 = 0,216x^{12} \implies a = \sqrt[3]{0,216x^{12}} = 0,6x^4$

$b^3 = 0,125y^{15} \implies b = \sqrt[3]{0,125y^{15}} = 0,5y^5$

Выполняем проверку для средних членов с $a=0,6x^4$ и $b=0,5y^5$:

$3a^2b = 3 \cdot (0,6x^4)^2 \cdot (0,5y^5) = 3 \cdot 0,36x^8 \cdot 0,5y^5 = 1,08x^8 \cdot 0,5y^5 = 0,54x^8y^5$.

$3ab^2 = 3 \cdot (0,6x^4) \cdot (0,5y^5)^2 = 1,8x^4 \cdot 0,25y^{10} = 0,45x^4y^{10}$.

Члены совпадают, поэтому многочлен является кубом суммы $(0,6x^4 + 0,5y^5)$.

Ответ: $(0,6x^4 + 0,5y^5)^3$.