Номер 33.17, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.17. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $ (2-3x)^3 - 54x^2 \leq -27x^3 - 41x; $

2) $ (3+2x)^3 - 36x^2 \geq 60x + 8x^3. $

1) Решим неравенство $(2-3x)^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем случае $a=2$ и $b=3x$.

$(2-3x)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3x) + 3 \cdot 2 \cdot (3x)^2 - (3x)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 3x + 6 \cdot 9x^2 - 27x^3 = 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$8 - 36x + 54x^2 - 27x^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8 - 36x - 27x^3 \le -27x^3 - 41x$.

Теперь перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены $-27x^3$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$-36x + 41x \le -8$.

$5x \le -8$.

Разделим обе части на 5:

$x \le -\frac{8}{5}$.

$x \le -1.6$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -1.6]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Это число -2.

Ответ: -2

2) Решим неравенство $(3+2x)^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a=3$ и $b=2x$.

$(3+2x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2x) + 3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 + (2x)^3 = 27 + 3 \cdot 9 \cdot 2x + 9 \cdot 4x^2 + 8x^3 = 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$27 + 54x + 8x^3 \ge 60x + 8x^3$.

Перенесем члены с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой. Члены $8x^3$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$27 \ge 60x - 54x$.

$27 \ge 6x$.

Для удобства поменяем части неравенства местами, изменив знак на противоположный:

$6x \le 27$.

Разделим обе части на 6:

$x \le \frac{27}{6}$.

$x \le 4.5$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 4.5]$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, — это 4.

Ответ: 4