Номер 33.14, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.14.

1) $(x + 5)^3 - (x + 1)^3 - 4(3x^2 - 5) + 10x - 7;$

2) $(x - 3)^3 - x^2(x + 6) - 5x(5 - 3x) - 19x + 1;$

3) $(y + 4)^3 + (3y + 1)^3 - 7y^2(4y + 9) + 24y^2 + 8;$

4) $(4y - 5)^3 - (4y + 5)^3 - 48y(1 - 10y) + 5 - 14y^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(x+5)^3 - (x+1)^3 - 4(3x^2-5) + 10x - 7$, раскроем скобки.
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(x+5)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$
$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
Теперь раскроем остальные скобки:
$-4(3x^2-5) = -12x^2 + 20$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 12x^2 + 20 + 10x - 7$
Уберем скобки, учитывая знаки:
$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 - 12x^2 + 20 + 10x - 7$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $x^3$: $x^3 - x^3 = 0$
Для $x^2$: $15x^2 - 3x^2 - 12x^2 = (15 - 3 - 12)x^2 = 0$
Для $x$: $75x - 3x + 10x = (75 - 3 + 10)x = 82x$
Свободные члены: $125 - 1 + 20 - 7 = 137$
В итоге получаем: $82x + 137$.
Ответ: $82x + 137$

2) Упростим выражение $(x-3)^3 - x^2(x+6) - 5x(5-3x) - 19x + 1$.
Сначала раскроем скобки. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Раскроем остальные скобки:
$-x^2(x+6) = -x^3 - 6x^2$
$-5x(5-3x) = -25x + 15x^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) - x^3 - 6x^2 - 25x + 15x^2 - 19x + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $x^3$: $x^3 - x^3 = 0$
Для $x^2$: $-9x^2 - 6x^2 + 15x^2 = (-9 - 6 + 15)x^2 = 0$
Для $x$: $27x - 25x - 19x = (27 - 25 - 19)x = -17x$
Свободные члены: $-27 + 1 = -26$
В итоге получаем: $-17x - 26$.
Ответ: $-17x - 26$

3) Упростим выражение $(y+4)^3 + (3y+1)^3 - 7y^2(4y+9) + 24y^2 + 8$.
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(y+4)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 4 + 3 \cdot y \cdot 4^2 + 4^3 = y^3 + 12y^2 + 48y + 64$
$(3y+1)^3 = (3y)^3 + 3 \cdot (3y)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3y) \cdot 1^2 + 1^3 = 27y^3 + 27y^2 + 9y + 1$
Раскроем произведение:
$-7y^2(4y+9) = -28y^3 - 63y^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(y^3 + 12y^2 + 48y + 64) + (27y^3 + 27y^2 + 9y + 1) - 28y^3 - 63y^2 + 24y^2 + 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $y^3$: $y^3 + 27y^3 - 28y^3 = (1 + 27 - 28)y^3 = 0$
Для $y^2$: $12y^2 + 27y^2 - 63y^2 + 24y^2 = (12 + 27 - 63 + 24)y^2 = 0$
Для $y$: $48y + 9y = 57y$
Свободные члены: $64 + 1 + 8 = 73$
В итоге получаем: $57y + 73$.
Ответ: $57y + 73$

4) Упростим выражение $(4y-5)^3 - (4y+5)^3 - 48y(1-10y) + 5 - 14y^2$.
Для разности кубов $(4y-5)^3 - (4y+5)^3$ можно применить формулу $(a-b)^3 - (a+b)^3 = -2b^3 - 6a^2b$.
Пусть $a = 4y$ и $b = 5$:
$(4y-5)^3 - (4y+5)^3 = -2(5)^3 - 6(4y)^2(5) = -2(125) - 6(16y^2)(5) = -250 - 480y^2$
Раскроем скобки в оставшейся части выражения:
$-48y(1-10y) = -48y + 480y^2$
Подставим все в исходное выражение:
$(-250 - 480y^2) - 48y + 480y^2 + 5 - 14y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Для $y^2$: $-480y^2 + 480y^2 - 14y^2 = -14y^2$
Для $y$: $-48y$
Свободные члены: $-250 + 5 = -245$
В итоге получаем: $-14y^2 - 48y - 245$.
Ответ: $-14y^2 - 48y - 245$