Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.15. Упростите выражение:

1) $6(x + 1)^2 + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)^3$;

2) $5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2)$;

3) $(x + 2)^3 - x(3x + 1)^2 + (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$.

1) Для упрощения выражения $6(x + 1)^2 + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
- Разность кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
- Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Применяя эти формулы, получаем:
$6(x^2 + 2x + 1) + 2(x^3 - 1^3) - 2(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3) =$
$= 6(x^2 + 2x + 1) + 2(x^3 - 1) - 2(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)$
Раскроем скобки:
$= 6x^2 + 12x + 6 + 2x^3 - 2 - 2x^3 - 6x^2 - 6x - 2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (2x^3 - 2x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x - 6x) + (6 - 2 - 2) =$
$= 0 + 0 + 6x + 2 = 6x + 2$
Ответ: $6x + 2$

2) Для упрощения выражения $5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
- Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- Разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
Применяя эти формулы, получаем:
$5x(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 5(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3) + 15(x^2 - 2^2) =$
$= 5x(x^2 - 6x + 9) - 5(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 15(x^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$= (5x^3 - 30x^2 + 45x) - (5x^3 - 15x^2 + 15x - 5) + (15x^2 - 60) =$
$= 5x^3 - 30x^2 + 45x - 5x^3 + 15x^2 - 15x + 5 + 15x^2 - 60$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (5x^3 - 5x^3) + (-30x^2 + 15x^2 + 15x^2) + (45x - 15x) + (5 - 60) =$
$= 0 + 0 + 30x - 55 = 30x - 55$
Ответ: $30x - 55$

3) Для упрощения выражения $(x + 2)^3 - x(3x + 1)^2 + (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
- Сумма кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$
Применяя эти формулы, получаем:
$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3) - x((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) + ((2x)^3 + 1^3) =$
$= (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - x(9x^2 + 6x + 1) + (8x^3 + 1)$
Раскроем скобки:
$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 9x^3 - 6x^2 - x + 8x^3 + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= (x^3 - 9x^3 + 8x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (12x - x) + (8 + 1) =$
$= 0 + 0 + 11x + 9 = 11x + 9$
Ответ: $11x + 9$

34.16. Найдите корни уравнения:

1) $x^3 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 9x = -18x;$

2) $(x + 4)(16 - 4x + x^2) - x(x^2 + 8) = -192;$

3) $y(y^2 - 5) - (y - 2)(y^2 + 2y + 4) + 3y = 0;$

4) $(5 + y)(25 - 5y + y^2) - 20y - y^3 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^3 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 9x = -18x$.
Заметим, что выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 3$.
Следовательно, $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$x^3 - (x^3 - 27) + 9x = -18x$.
Раскроем скобки:
$x^3 - x^3 + 27 + 9x = -18x$.
Приведем подобные слагаемые:
$27 + 9x = -18x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$9x + 18x = -27$.
$27x = -27$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-27}{27} = -1$.
Ответ: -1.

2) Исходное уравнение: $(x + 4)(16 - 4x + x^2) - x(x^2 + 8) = -192$.
Заметим, что выражение $(x + 4)(16 - 4x + x^2)$ соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 4$.
Следовательно, $(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.
Подставим это выражение в исходное уравнение и раскроем вторые скобки:
$(x^3 + 64) - (x^3 + 8x) = -192$.
Раскроем скобки:
$x^3 + 64 - x^3 - 8x = -192$.
Приведем подобные слагаемые:
$64 - 8x = -192$.
Перенесем 64 в правую часть:
$-8x = -192 - 64$.
$-8x = -256$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-256}{-8} = 32$.
Ответ: 32.

3) Исходное уравнение: $y(y^2 - 5) - (y - 2)(y^2 + 2y + 4) + 3y = 0$.
Раскроем первые скобки: $y(y^2 - 5) = y^3 - 5y$.
Выражение $(y - 2)(y^2 + 2y + 4)$ является разностью кубов $y^3 - 2^3 = y^3 - 8$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(y^3 - 5y) - (y^3 - 8) + 3y = 0$.
Раскроем скобки:
$y^3 - 5y - y^3 + 8 + 3y = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-5y + 3y) + 8 = 0$.
$-2y + 8 = 0$.
Перенесем 8 в правую часть:
$-2y = -8$.
Найдем $y$:
$y = \frac{-8}{-2} = 4$.
Ответ: 4.

4) Исходное уравнение: $(5 + y)(25 - 5y + y^2) - 20y - y^3 = 0$.
Выражение $(5 + y)(25 - 5y + y^2)$ является суммой кубов $5^3 + y^3 = 125 + y^3$.
Подставим это выражение в уравнение:
$(125 + y^3) - 20y - y^3 = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$125 - 20y = 0$.
Перенесем 125 в правую часть:
$-20y = -125$.
Найдем $y$:
$y = \frac{-125}{-20} = \frac{125}{20}$.
Сократим дробь на 5:
$y = \frac{25}{4}$.
Ответ: $\frac{25}{4}$.

Докажите тождества (34.17–34.18):

34.17. 1) $(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = 8y^3;$

2) $(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = 4m^2n;$

3) $x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 8.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (куб суммы и куб разности) и распределительное свойство.

$(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) - 6yx^2 + 6y^3$.

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 6x^2y + 6y^3 = $

$= (x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y - 6x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3 + 6y^3) = $

$= 0 + 0 + 0 + 8y^3 = 8y^3$.

Левая часть равна $8y^3$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, раскрыв все скобки с помощью формул сокращенного умножения и распределительного свойства.

$(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3) - (m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - 2nm^2 - 2n^3 = $

$= m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 - m^3 + 3m^2n - 3mn^2 + n^3 - 2m^2n - 2n^3$.

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(m^3 - m^3) + (3m^2n + 3m^2n - 2m^2n) + (3mn^2 - 3mn^2) + (n^3 + n^3 - 2n^3) = $

$= 0 + (6m^2n - 2m^2n) + 0 + (2n^3 - 2n^3) = 4m^2n$.

Левая часть равна $4m^2n$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Упростим левую часть тождества, используя формулу квадрата суммы и распределительное свойство.

$x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 4 - (x^2 + 4x + 4) + 4x + x^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4 - x^2 - 4x - 4 + 4x + x^2 = x^3 + (-x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-4 - 4) = x^3 - 8$.

В результате преобразований левая часть стала равна $x^3 - 8$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

34.18.

1) $(a^2 - 3)^3 - (a^2 - 4)(a^2 + 4) - a^2(a^4 - 10a^2 + 27) + 27 = 16;$

2) $(b^2 + 3)^3 - (b^2 + 3)(b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2(b^2 + 3) = 0;$

3) $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) - (m^2 - 1)^3 + 3(m^2 - 1) = 3m^4 - 3.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой. Для этого будем использовать формулы сокращенного умножения: куб разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом по очереди:
Первое слагаемое: $(a^2 - 3)^3 = (a^2)^3 - 3 \cdot (a^2)^2 \cdot 3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3^2 - 3^3 = a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27$.
Второе слагаемое: $-(a^2 - 4)(a^2 + 4) = -((a^2)^2 - 4^2) = -(a^4 - 16) = -a^4 + 16$.
Третье слагаемое: $-a^2(a^4 - 10a^2 + 27) = -a^6 + 10a^4 - 27a^2$.
Теперь сложим все полученные выражения и добавим оставшееся слагаемое $+27$ к левой части:
$a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27 - a^4 + 16 - a^6 + 10a^4 - 27a^2 + 27$
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(a^6 - a^6) + (-9a^4 - a^4 + 10a^4) + (27a^2 - 27a^2) + (-27 + 16 + 27) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.
Левая часть равна 16, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество, упростив его левую часть. Вынесем общий множитель $(b^2+3)$ за скобки:
$(b^2+3) \cdot \left[ (b^2+3)^2 - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2 \right]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Раскроем квадрат суммы $(b^2+3)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(b^2+3)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 3 + 3^2 = b^4 + 6b^2 + 9$.
Подставим результат обратно в квадратные скобки и раскроем остальные скобки:
$b^4 + 6b^2 + 9 - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2 = b^4 + 6b^2 + 9 - b^4 + 3b^2 - 9 - 9b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(b^4 - b^4) + (6b^2 + 3b^2 - 9b^2) + (9 - 9) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Так как выражение в квадратных скобках равно нулю, то и вся левая часть равна нулю:
$(b^2+3) \cdot 0 = 0$.
Левая часть равна 0, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество, упростив его левую часть. Первое слагаемое $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1)$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$, где $x=m^2$ и $y=1$.
$(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) = (m^2)^3 - 1^3 = m^6 - 1$.
Теперь преобразуем второе слагаемое, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$:
$-(m^2 - 1)^3 = -((m^2)^3 - 3(m^2)^2 \cdot 1 + 3m^2 \cdot 1^2 - 1^3) = -(m^6 - 3m^4 + 3m^2 - 1) = -m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1$.
Раскроем скобки в третьем слагаемом:
$3(m^2 - 1) = 3m^2 - 3$.
Теперь сложим все преобразованные части:
$(m^6 - 1) + (-m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1) + (3m^2 - 3) = m^6 - 1 - m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1 + 3m^2 - 3$
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(m^6 - m^6) + 3m^4 + (-3m^2 + 3m^2) + (-1 + 1 - 3) = 0 + 3m^4 + 0 - 3 = 3m^4 - 3$.
Левая часть равна $3m^4 - 3$, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

34.19. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2-10 \le 12x+x^2$;

2) $24-(3-x)^2 > 8x-x^2$.

1) Решим неравенство $(x+2)^2 - 10 \le 12x + x^2$.
Сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 10 \le 12x + x^2$
$x^2 + 4x + 4 - 10 \le 12x + x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 + 4x - 6 \le 12x + x^2$
Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:
$x^2 + 4x - 6 - 12x - x^2 \le 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (4x - 12x) - 6 \le 0$
$-8x - 6 \le 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-8x \le 6$
Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):
$x \ge \frac{6}{-8}$
Сократим дробь:
$x \ge -\frac{3}{4}$
Решение можно записать в виде промежутка.
Ответ: $x \in [-\frac{3}{4}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $24 - (3-x)^2 > 8x - x^2$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$24 - (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) > 8x - x^2$
$24 - (9 - 6x + x^2) > 8x - x^2$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус", изменив знаки слагаемых внутри скобок:
$24 - 9 + 6x - x^2 > 8x - x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$15 + 6x - x^2 > 8x - x^2$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$15 + 6x - x^2 - 8x + x^2 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$15 + (6x - 8x) + (-x^2 + x^2) > 0$
$15 - 2x > 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-2x > -15$
Разделим обе части неравенства на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $>$ на $<$):
$x < \frac{-15}{-2}$
$x < 7.5$
Решение можно записать в виде промежутка.
Ответ: $x \in (-\infty; 7.5)$.

34.20. Найдите периметр и площадь фигуры, изображенной на рисунке 34.1.

5

5

5

4

8

4

Рис. 34.1

Для нахождения периметра и площади фигуры, изображенной на рисунке, проанализируем ее размеры. Из рисунка видно, что фигура представляет собой многоугольник, размеры некоторых сторон которого указаны.

Периметр

Периметр фигуры – это сумма длин всех ее сторон. Для нахождения периметра необходимо определить длины всех сторон многоугольника. Будем двигаться по контуру фигуры по часовой стрелке, начиная с левого верхнего угла.

1. Верхняя сторона состоит из трех отрезков: левый горизонтальный отрезок длиной 5, вырез шириной 5 и правый горизонтальный отрезок длиной 5. Общая ширина фигуры: $5 + 5 + 5 = 15$.

2. Вырез в верхней части имеет глубину 4. Это добавляет к периметру два вертикальных отрезка по 4 и один горизонтальный отрезок длиной 5.

3. Правая боковая сторона имеет длину 8.

4. Нижняя часть имеет выступ высотой 4. Ширина этого выступа на рисунке не указана, но по симметрии с верхним вырезом можно предположить, что она также равна 5. Тогда горизонтальные отрезки по бокам от выступа будут иметь длину $(15 - 5) / 2 = 5$ каждый.

5. Левая боковая сторона, по симметрии с правой, имеет длину 8.

Теперь сложим длины всех сторон по контуру:

$P = \underbrace{5}_{\text{верхний левый}} + \underbrace{4}_{\text{вырез вниз}} + \underbrace{5}_{\text{дно выреза}} + \underbrace{4}_{\text{вырез вверх}} + \underbrace{5}_{\text{верхний правый}} + \underbrace{8}_{\text{правая сторона}} + \underbrace{5}_{\text{нижний правый}} + \underbrace{4}_{\text{выступ вниз}} + \underbrace{5}_{\text{основание выступа}} + \underbrace{4}_{\text{выступ вверх}} + \underbrace{5}_{\text{нижний левый}} + \underbrace{8}_{\text{левая сторона}}$

Суммируем все значения:

$P = 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 8 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 8 = 62$

Ответ: Периметр фигуры равен 62.

Площадь

Площадь фигуры можно найти, разбив ее на более простые прямоугольные части. Другой способ – представить фигуру как большой прямоугольник, из которого вырезали или к которому добавили другие прямоугольники.

Рассмотрим фигуру как композицию из нескольких прямоугольников. Можно выделить основной "корпус" и нижний выступ.

1. Основной корпус можно рассматривать как прямоугольник размером $15 \times 8$ с вырезанным сверху прямоугольником размером $5 \times 4$.
Площадь основного корпуса: $S_{корпус} = (15 \times 8) - (5 \times 4) = 120 - 20 = 100$.

2. Нижний выступ представляет собой прямоугольник размером $5 \times 4$.
Площадь выступа: $S_{выступ} = 5 \times 4 = 20$.

3. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух частей.
$S = S_{корпус} + S_{выступ} = 100 + 20 = 120$.

Проверка другим способом:

Можно разбить фигуру на три вертикальных блока.

- Левый блок: прямоугольник $5 \times 8$. Площадь $S_{1} = 5 \times 8 = 40$.

- Правый блок: прямоугольник $5 \times 8$. Площадь $S_{2} = 5 \times 8 = 40$.

- Центральный блок: состоит из части под вырезом (размер $5 \times (8-4) = 5 \times 4$) и нижнего выступа (размер $5 \times 4$). Площадь $S_{3} = (5 \times 4) + (5 \times 4) = 20 + 20 = 40$.

Общая площадь: $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 40 + 40 + 40 = 120$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь фигуры равна 120.