Страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.19. 1) $ (2,3x - 10) (5,29x^2 + 23x + 100) - 125x = 12,167x^3; $

2) $ (20 + 1,7x) (2,89x^2 - 34x + 400) - 400x = 4,913x^3; $

3) $ 5(x - 6)^3 - 13(2 + x)^3 + 32 = -8x^2(x + 21); $

4) $ -6(4 + x)^3 + 3(5 - x)^3 = 1017 - 9x^2(3 + x). $

1) $(2,3x - 10)(5,29x^2 + 23x + 100) - 125x = 12,167x^3$

В левой части уравнения применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2,3x$ и $b = 10$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2 = (2,3x)^2 = 5,29x^2$; $ab = (2,3x) \cdot 10 = 23x$; $b^2 = 10^2 = 100$. Выражение соответствует формуле.

Тогда $(2,3x - 10)(5,29x^2 + 23x + 100) = (2,3x)^3 - 10^3 = 12,167x^3 - 1000$.

Подставим это в исходное уравнение:

$12,167x^3 - 1000 - 125x = 12,167x^3$

Вычтем $12,167x^3$ из обеих частей уравнения:

$-1000 - 125x = 0$

$-125x = 1000$

$x = \frac{1000}{-125}$

$x = -8$

Ответ: -8

2) $(20 + 1,7x)(2,89x^2 - 34x + 400) - 400x = 4,913x^3$

В левой части уравнения применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 1,7x$ и $b = 20$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2 = (1,7x)^2 = 2,89x^2$; $ab = 1,7x \cdot 20 = 34x$; $b^2 = 20^2 = 400$. Выражение соответствует формуле.

Тогда $(1,7x + 20)(2,89x^2 - 34x + 400) = (1,7x)^3 + 20^3 = 4,913x^3 + 8000$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4,913x^3 + 8000 - 400x = 4,913x^3$

Вычтем $4,913x^3$ из обеих частей уравнения:

$8000 - 400x = 0$

$-400x = -8000$

$x = \frac{-8000}{-400}$

$x = 20$

Ответ: 20

3) $5(x - 6)^3 - 13(2 + x)^3 + 32 = -8x^2(x + 21)$

Раскроем скобки, используя формулы куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(x - 6)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3 = x^3 - 18x^2 + 108x - 216$

$(2 + x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

Подставим раскрытые скобки в уравнение:

$5(x^3 - 18x^2 + 108x - 216) - 13(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 32 = -8x^3 - 168x^2$

$5x^3 - 90x^2 + 540x - 1080 - 13x^3 - 78x^2 - 156x - 104 + 32 = -8x^3 - 168x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5x^3 - 13x^3) + (-90x^2 - 78x^2) + (540x - 156x) + (-1080 - 104 + 32) = -8x^3 - 168x^2$

$-8x^3 - 168x^2 + 384x - 1152 = -8x^3 - 168x^2$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа в правую, или просто сократим одинаковые члены в обеих частях:

$384x - 1152 = 0$

$384x = 1152$

$x = \frac{1152}{384}$

$x = 3$

Ответ: 3

4) $-6(4 + x)^3 + 3(5 - x)^3 = 1017 - 9x^2(3 + x)$

Раскроем скобки, используя формулы куба суммы и куба разности.

$(4 + x)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3 = 64 + 48x + 12x^2 + x^3$

$(5 - x)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$

Подставим раскрытые скобки в уравнение:

$-6(x^3 + 12x^2 + 48x + 64) + 3(-x^3 + 15x^2 - 75x + 125) = 1017 - 27x^2 - 9x^3$

$-6x^3 - 72x^2 - 288x - 384 - 3x^3 + 45x^2 - 225x + 375 = 1017 - 27x^2 - 9x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-6x^3 - 3x^3) + (-72x^2 + 45x^2) + (-288x - 225x) + (-384 + 375) = 1017 - 27x^2 - 9x^3$

$-9x^3 - 27x^2 - 513x - 9 = 1017 - 27x^2 - 9x^3$

Сократим одинаковые члены $(-9x^3$ и $-27x^2)$ в обеих частях:

$-513x - 9 = 1017$

$-513x = 1017 + 9$

$-513x = 1026$

$x = \frac{1026}{-513}$

$x = -2$

Ответ: -2

Решите неравенства (35.20–35.21):

35.20. 1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x - 5);$

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x (49x - 8);$

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x - 7)^2 - 3x;$

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x + 3).$

1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой – правило умножения многочленов.

$(9x)^2 - 2 \cdot 9x \cdot 7 + 7^2 - 10 \le 9x \cdot 9x - 9x \cdot 5 + 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5$

$81x^2 - 126x + 49 - 10 \le 81x^2 - 45x + 27x - 15$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$81x^2 - 126x + 39 \le 81x^2 - 18x - 15$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены – в левую, чтобы избавиться от $81x^2$:

$39 + 15 \le -18x + 126x$

$54 \le 108x$

Разделим обе части на 108:

$\frac{54}{108} \le x$

$0.5 \le x$ или $x \ge 0.5$

Решение неравенства можно записать в виде промежутка.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x(49x - 8)$

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 7x + (7x)^2 - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

$9 + 42x + 49x^2 - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

Приведем подобные слагаемые:

$49x^2 + 41x + 9 \le 49x^2 - 8x - 26$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы – в правую:

$49x^2 - 49x^2 + 41x + 8x \le -26 - 9$

$49x \le -35$

Разделим обе части на 49:

$x \le -\frac{35}{49}$

Сократим дробь на 7:

$x \le -\frac{5}{7}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}]$.

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x - 7)^2 - 3x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$11x + 25x^2 + 7 < (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 7 + 7^2 - 3x$

$11x + 25x^2 + 7 < 25x^2 - 70x + 49 - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$25x^2 + 11x + 7 < 25x^2 - 73x + 49$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа вправо:

$25x^2 - 25x^2 + 11x + 73x < 49 - 7$

$84x < 42$

Разделим обе части на 84:

$x < \frac{42}{84}$

$x < 0.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 0.5)$.

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях.

$4 + (6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 11x + (11x)^2) > 25x + 121x^2 + 3x$

$4 + 36 - 132x + 121x^2 > 25x + 121x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$121x^2 - 132x + 40 > 121x^2 + 28x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа оставим в левой:

$40 > 121x^2 - 121x^2 + 28x + 132x$

$40 > 160x$

Для удобства поменяем части местами, изменив знак неравенства:

$160x < 40$

Разделим обе части на 160:

$x < \frac{40}{160}$

$x < \frac{1}{4}$ или $x < 0.25$

Ответ: $x \in (-\infty; 0.25)$.

35.21. 1) $13 + x^2(x - 9) \le (x - 3)^3 + 11;$

2) $26 + (2 + x)^3 < x^2 (6 + x);$

3) $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x;$

4) $(4 + x)^3 - 6x \le x^2(x + 12) + 1.$

1) Исходное неравенство: $13 + x^2(x - 9) \le (x - 3)^3 + 11$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $13 + x^3 - 9x^2$.
Для правой части используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(x - 3)^3 + 11 = (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3) + 11 = (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + 11 = x^3 - 9x^2 + 27x - 16$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$13 + x^3 - 9x^2 \le x^3 - 9x^2 + 27x - 16$.
Сократим подобные члены ($x^3$ и $-9x^2$) в обеих частях:
$13 \le 27x - 16$.
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$13 + 16 \le 27x$.
$29 \le 27x$.
Разделим обе части на 27 (так как $27 > 0$, знак неравенства не меняется):
$\frac{29}{27} \le x$, что эквивалентно $x \ge \frac{29}{27}$.
Ответ: $x \in [\frac{29}{27}, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $26 + (2 + x)^3 < x^2(6 + x)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Для левой части используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$26 + (2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3) = 26 + 8 + 12x + 6x^2 + x^3 = 34 + 12x + 6x^2 + x^3$.
Правая часть: $x^2(6 + x) = 6x^2 + x^3$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$34 + 12x + 6x^2 + x^3 < 6x^2 + x^3$.
Сократим подобные члены ($6x^2$ и $x^3$) в обеих частях:
$34 + 12x < 0$.
Перенесем константу в правую часть:
$12x < -34$.
Разделим обе части на 12:
$x < -\frac{34}{12}$.
Сократим дробь: $x < -\frac{17}{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{17}{6})$.

3) Исходное неравенство: $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $3x - 15x^2 - x^3$.
Правая часть: $-(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3) - 4x = -(x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - 4x = -x^3 - 15x^2 - 75x - 125 - 4x = -x^3 - 15x^2 - 79x - 125$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$3x - 15x^2 - x^3 > -x^3 - 15x^2 - 79x - 125$.
Сократим подобные члены ($-15x^2$ и $-x^3$) в обеих частях:
$3x > -79x - 125$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть:
$3x + 79x > -125$.
$82x > -125$.
Разделим обе части на 82:
$x > -\frac{125}{82}$.
Ответ: $x \in (-\frac{125}{82}, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(4 + x)^3 - 6x \le x^2(x + 12) + 1$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $(4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3) - 6x = (64 + 48x + 12x^2 + x^3) - 6x = 64 + 42x + 12x^2 + x^3$.
Правая часть: $x^3 + 12x^2 + 1$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$64 + 42x + 12x^2 + x^3 \le x^3 + 12x^2 + 1$.
Сократим подобные члены ($12x^2$ и $x^3$) в обеих частях:
$64 + 42x \le 1$.
Перенесем константу в правую часть:
$42x \le 1 - 64$.
$42x \le -63$.
Разделим обе части на 42:
$x \le -\frac{63}{42}$.
Сократим дробь на 21: $x \le -\frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$.

35.22. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 \ge 7x + 7;$

2) $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17;$

3) $7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64);$

4) $16x(32x^2 + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x^2 + 8x + 1).$

1) $(3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 \ge 7x + 7$

Выражение $(3 - x)(9 + 3x + x^2)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=3$ и $b=x$.

Применим эту формулу: $3^3 - x^3 = 27 - x^3$.

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$27 - x^3 - 2x + x^3 \ge 7x + 7$

Сократим $-x^3$ и $x^3$:

$27 - 2x \ge 7x + 7$

Теперь решим линейное неравенство. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:

$27 - 7 \ge 7x + 2x$

$20 \ge 9x$

$x \le \frac{20}{9}$

Поскольку $\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.

Ответ: 2

2) $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17$

Выражение $(x - 7)(x^2 + 7x + 49)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=7$.

Применим формулу: $x^3 - 7^3 = x^3 - 343$.

Подставим в неравенство:

$x^3 - 343 < -4x + x^3 + 17$

Сократим $x^3$ с обеих сторон:

$-343 < -4x + 17$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$4x < 17 + 343$

$4x < 360$

$x < \frac{360}{4}$

$x < 90$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству $x < 90$, является 89.

Ответ: 89

3) $7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64)$

Выражение $(x + 8)(x^2 - 8x + 64)$ является формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=8$.

Применим формулу: $x^3 + 8^3 = x^3 + 512$.

Подставим в неравенство:

$7x - x^3 > 27x - (x^3 + 512)$

Раскроем скобки в правой части:

$7x - x^3 > 27x - x^3 - 512$

Сократим $-x^3$ с обеих сторон:

$7x > 27x - 512$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$512 > 27x - 7x$

$512 > 20x$

$x < \frac{512}{20}$

$x < 25.6$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству $x < 25.6$, является 25.

Ответ: 25

4) $16x(32x^2 + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x^2 + 8x + 1)$

Раскроем скобки в левой части: $16x(32x^2 + 1) = 512x^3 + 16x$.

Выражение $(8x - 1)(64x^2 + 8x + 1)$ в правой части является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=8x$ и $b=1$.

Применим формулу: $(8x)^3 - 1^3 = 512x^3 - 1$.

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$512x^3 + 16x \le -32 + 512x^3 - 1$

Сократим $512x^3$ с обеих сторон:

$16x \le -32 - 1$

$16x \le -33$

$x \le -\frac{33}{16}$

Поскольку $-\frac{33}{16} = -2\frac{1}{16} = -2.0625$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является -3.

Ответ: -3

35.23. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $ (x+9)^2 - x^2 > 15x - 79; $

2) $ x^2 - (11-x)^2 < 23x + 19; $

3) $ (x-8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x; $

4) $ x^3 - (7+x)^3 \ge -21x^2 - 490. $

1) $(x + 9)^2 - x^2 > 15x - 79$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - x^2 > 15x - 79$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 > 15x - 79$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$18x + 81 > 15x - 79$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$18x - 15x > -79 - 81$

$3x > -160$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > -\frac{160}{3}$

Представим дробь в виде смешанного числа для наглядности:

$x > -53\frac{1}{3}$

Наименьшее целое число, которое больше $-53\frac{1}{3}$, это $-53$.

Ответ: -53

2) $x^2 - (11 - x)^2 < 23x + 19$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (11^2 - 2 \cdot 11 \cdot x + x^2) < 23x + 19$

$x^2 - (121 - 22x + x^2) < 23x + 19$

$x^2 - 121 + 22x - x^2 < 23x + 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$22x - 121 < 23x + 19$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Удобнее перенести $x$ вправо, чтобы коэффициент был положительным:

$-121 - 19 < 23x - 22x$

$-140 < x$

Это неравенство можно записать как $x > -140$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это $-139$.

Ответ: -139

3) $(x - 8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 8^2 - 8^3) + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

$(x^3 - 24x^2 + 192x - 512) + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

Упростим левую часть, сократив $-24x^2$ и $24x^2$:

$x^3 + 192x - 512 \ge x^3 + 64x$

Сократим $x^3$ в обеих частях неравенства:

$192x - 512 \ge 64x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$192x - 64x \ge 512$

$128x \ge 512$

Разделим обе части на 128:

$x \ge \frac{512}{128}$

$x \ge 4$

Наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству $x \ge 4$, это само число 4.

Ответ: 4

4) $x^3 - (7 + x)^3 \ge -21x^2 - 490$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$x^3 - (7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot x + 3 \cdot 7 \cdot x^2 + x^3) \ge -21x^2 - 490$

$x^3 - (343 + 147x + 21x^2 + x^3) \ge -21x^2 - 490$

$x^3 - 343 - 147x - 21x^2 - x^3 \ge -21x^2 - 490$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-21x^2 - 147x - 343 \ge -21x^2 - 490$

Прибавим $21x^2$ к обеим частям неравенства, они сократятся:

$-147x - 343 \ge -490$

Перенесем число $-343$ в правую часть с противоположным знаком:

$-147x \ge -490 + 343$

$-147x \ge -147$

Разделим обе части на -147. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-147}{-147}$

$x \le 1$

Решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных 1. Целые решения этого неравенства: $1, 0, -1, -2, ...$ и так далее до минус бесконечности. Это множество не ограничено снизу, поэтому у него нет наименьшего элемента.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.

Докажите тождества (35.24–35.25):

35.24. 1)

$((a^7 - 8b^4) (8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(+2b^8 + a^{14}) = b^{16};$

2)

$b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12};$

3)

$(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4;$

4)

$0.5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2.5z^4 - 20z^5t^2.$

1) Для доказательства тождества $((a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14}) = b^{16}$ преобразуем его левую часть.
Первое произведение $(a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = a^7$ и $y = 8b^4$.
$(a^7 - 8b^4)(a^7 + 8b^4) = (a^7)^2 - (8b^4)^2 = a^{14} - 64b^8$.
Подставим это в выражение в больших скобках:
$(a^{14} - 64b^8 + 63b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14}) = (a^{14} - b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14})$.
Теперь раскроем скобки. Возведем в квадрат по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^{14} - b^8)^2 = (a^{14})^2 - 2 \cdot a^{14} \cdot b^8 + (b^8)^2 = a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16}$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $a^{14}$ на скобку:
$- a^{14}(2b^8 + a^{14}) = -2a^{14}b^8 - a^{28}$.
Соберем все преобразованные части вместе:
$a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16} - 2a^{14}b^8 - a^{28}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{28} - a^{28}) + (-2a^{14}b^8 - 2a^{14}b^8) + b^{16} = -4a^{14}b^8 + b^{16}$.
В результате преобразования левой части мы получили выражение $-4a^{14}b^8 + b^{16}$, которое не равно правой части $b^{16}$ (кроме частных случаев, например, когда $a=0$). Следовательно, исходное равенство не является тождеством.
Ответ: данное равенство не является тождеством.

2) Для доказательства тождества $b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12}$ преобразуем его левую часть.
Упростим выражение в самых внутренних скобках $(b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6)$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=b^6$ и $y=9c^5$:
$(b^6 - 9c^5)(b^6 + 9c^5) = (b^6)^2 - (9c^5)^2 = b^{12} - 81c^{10}$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$b^{24} - (82c^{10} + b^{12} - 81c^{10})^2 + c^{20}$.
Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые:
$b^{24} - (b^{12} + c^{10})^2 + c^{20}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:
$b^{24} - ((b^{12})^2 + 2 \cdot b^{12} \cdot c^{10} + (c^{10})^2) + c^{20} = b^{24} - (b^{24} + 2b^{12}c^{10} + c^{20}) + c^{20}$.
$b^{24} - b^{24} - 2b^{12}c^{10} - c^{20} + c^{20}$.
Приведем подобные члены:
$(b^{24} - b^{24}) + (-c^{20} + c^{20}) - 2b^{12}c^{10} = -2b^{12}c^{10}$.
Левая часть тождества равна $-2b^{12}c^{10}$, что совпадает с правой частью $-2c^{10}b^{12}$.
Ответ: тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4$ преобразуем его левую часть.
Первые два слагаемых представляют собой разность квадратов двух выражений, что можно упростить по формуле $(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab$. В нашем случае $a=x^3$ и $b=9y^4$:
$(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 = -4 \cdot x^3 \cdot (9y^4) = -36x^3y^4$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$-36x^3y^4 + 36x^3(y^4 - x)$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^3 \cdot x = -36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^4$.
Приведем подобные члены:
$(-36x^3y^4 + 36x^3y^4) - 36x^4 = -36x^4$.
Левая часть тождества равна $-36x^4$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $0,5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2$ преобразуем его левую часть.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом:
$0,5z^4 \cdot 40zt^2 - 0,5z^4 \cdot 5 = 20z^5t^2 - 2,5z^4$.
Рассмотрим второе и третье слагаемые: $- (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2$. Это выражение вида $-(a+b)^2 + (b-a)^2$. Так как $(b-a)^2 = (a-b)^2$, то выражение можно переписать как $-(a+b)^2 + (a-b)^2$. Это соответствует формуле $-( (a+b)^2 - (a-b)^2 ) = -4ab$. В нашем случае $a=z^5$ и $b=10t^2$:
$-(z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -4 \cdot z^5 \cdot (10t^2) = -40z^5t^2$.
Теперь объединим все преобразованные части:
$(20z^5t^2 - 2,5z^4) - 40z^5t^2$.
Приведем подобные члены:
$-2,5z^4 + (20z^5t^2 - 40z^5t^2) = -2,5z^4 - 20z^5t^2$.
Левая часть тождества равна $-2,5z^4 - 20z^5t^2$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.

35.25.

1) $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5 = -3a^7t^{10}$

2) $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8) - 3x^8b^9 = 3x^4b^{18}$

1) Докажем тождество: $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5 = -3a^7t^{10}$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Первое произведение $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10})$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x=a^7$ и $y=t^5$.

$(a^7 - t^5)((a^7)^2 + a^7t^5 + (t^5)^2) = (a^7)^3 - (t^5)^3 = a^{21} - t^{15}$.

Второе слагаемое $(t^5 - a^7)^3$ раскроем по формуле куба разности $(y-x)^3 = y^3 - 3y^2x + 3yx^2 - x^3$, где $y=t^5$ и $x=a^7$.

$(t^5 - a^7)^3 = (t^5)^3 - 3(t^5)^2(a^7) + 3(t^5)(a^7)^2 - (a^7)^3 = t^{15} - 3t^{10}a^7 + 3t^5a^{14} - a^{21}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и приведем подобные слагаемые:

$(a^{21} - t^{15}) + (t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21}) - 3a^{14}t^5$

$= a^{21} - t^{15} + t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21} - 3a^{14}t^5$

$= (a^{21} - a^{21}) + (-t^{15} + t^{15}) + (3a^{14}t^5 - 3a^{14}t^5) - 3a^7t^{10}$

$= 0 + 0 + 0 - 3a^7t^{10} = -3a^7t^{10}$.

Левая часть равенства равна $-3a^7t^{10}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8) - 3x^8b^9 = 3x^4b^{18}$.

Преобразуем левую часть равенства, применяя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое $(x^4 + b^9)^3$ раскроем по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a=x^4$ и $b=b^9$.

$(x^4 + b^9)^3 = (x^4)^3 + 3(x^4)^2(b^9) + 3(x^4)(b^9)^2 + (b^9)^3 = x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}$.

Второе слагаемое $(b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8)$ представляет собой формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=b^9$ и $b=x^4$.

$(b^9 + x^4)((b^9)^2 - b^9x^4 + (x^4)^2) = (b^9)^3 + (x^4)^3 = b^{27} + x^{12}$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$(x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}) - (b^{27} + x^{12}) - 3x^8b^9$

$= x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27} - b^{27} - x^{12} - 3x^8b^9$

$= (x^{12} - x^{12}) + (b^{27} - b^{27}) + (3x^8b^9 - 3x^8b^9) + 3x^4b^{18}$

$= 0 + 0 + 0 + 3x^4b^{18} = 3x^4b^{18}$.

Левая часть равенства равна $3x^4b^{18}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.