Номер 35.22, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.22. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 \ge 7x + 7;$

2) $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17;$

3) $7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64);$

4) $16x(32x^2 + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x^2 + 8x + 1).$

1) $(3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 \ge 7x + 7$

Выражение $(3 - x)(9 + 3x + x^2)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=3$ и $b=x$.

Применим эту формулу: $3^3 - x^3 = 27 - x^3$.

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$27 - x^3 - 2x + x^3 \ge 7x + 7$

Сократим $-x^3$ и $x^3$:

$27 - 2x \ge 7x + 7$

Теперь решим линейное неравенство. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:

$27 - 7 \ge 7x + 2x$

$20 \ge 9x$

$x \le \frac{20}{9}$

Поскольку $\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.

Ответ: 2

2) $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17$

Выражение $(x - 7)(x^2 + 7x + 49)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=7$.

Применим формулу: $x^3 - 7^3 = x^3 - 343$.

Подставим в неравенство:

$x^3 - 343 < -4x + x^3 + 17$

Сократим $x^3$ с обеих сторон:

$-343 < -4x + 17$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$4x < 17 + 343$

$4x < 360$

$x < \frac{360}{4}$

$x < 90$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству $x < 90$, является 89.

Ответ: 89

3) $7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64)$

Выражение $(x + 8)(x^2 - 8x + 64)$ является формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=8$.

Применим формулу: $x^3 + 8^3 = x^3 + 512$.

Подставим в неравенство:

$7x - x^3 > 27x - (x^3 + 512)$

Раскроем скобки в правой части:

$7x - x^3 > 27x - x^3 - 512$

Сократим $-x^3$ с обеих сторон:

$7x > 27x - 512$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$512 > 27x - 7x$

$512 > 20x$

$x < \frac{512}{20}$

$x < 25.6$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству $x < 25.6$, является 25.

Ответ: 25

4) $16x(32x^2 + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x^2 + 8x + 1)$

Раскроем скобки в левой части: $16x(32x^2 + 1) = 512x^3 + 16x$.

Выражение $(8x - 1)(64x^2 + 8x + 1)$ в правой части является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=8x$ и $b=1$.

Применим формулу: $(8x)^3 - 1^3 = 512x^3 - 1$.

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$512x^3 + 16x \le -32 + 512x^3 - 1$

Сократим $512x^3$ с обеих сторон:

$16x \le -32 - 1$

$16x \le -33$

$x \le -\frac{33}{16}$

Поскольку $-\frac{33}{16} = -2\frac{1}{16} = -2.0625$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является -3.

Ответ: -3