Номер 35.16, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.16—35.17):

35.16. 1) $(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) - (6x^3 - 1)^2;$ 2) $(x^4 - 1)^2 - (x^4 + 4) - (x^4 - 6);$

3) $(x^7 - 3)(x^7 + 7) - (x^7 + 2)^2;$ 4) $(x^8 + 9)(11 - x^8) - (x^8 + 1)^2.$

1) $(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) - (6x^3 - 1)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении двух многочленов:

$(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) = 4x^3 \cdot 9x^3 + 4x^3 \cdot 5 - 1 \cdot 9x^3 - 1 \cdot 5 = 36x^6 + 20x^3 - 9x^3 - 5 = 36x^6 + 11x^3 - 5$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(6x^3 - 1)^2 = (6x^3)^2 - 2 \cdot 6x^3 \cdot 1 + 1^2 = 36x^6 - 12x^3 + 1$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(36x^6 + 11x^3 - 5) - (36x^6 - 12x^3 + 1) = 36x^6 + 11x^3 - 5 - 36x^6 + 12x^3 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^6 - 36x^6) + (11x^3 + 12x^3) + (-5 - 1) = 0 + 23x^3 - 6 = 23x^3 - 6$.

Ответ: $23x^3 - 6$.

2) $(x^4 - 1)^2 - (x^4 + 4)(x^4 - 6)$

Сначала возведем в квадрат первое выражение по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^4 - 1)^2 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = x^8 - 2x^4 + 1$.

Затем раскроем скобки во втором произведении:

$(x^4 + 4)(x^4 - 6) = x^4 \cdot x^4 - 6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^4 - 4 \cdot 6 = x^8 - 2x^4 - 24$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(x^8 - 2x^4 + 1) - (x^8 - 2x^4 - 24) = x^8 - 2x^4 + 1 - x^8 + 2x^4 + 24$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^8 - x^8) + (-2x^4 + 2x^4) + (1 + 24) = 0 + 0 + 25 = 25$.

Ответ: $25$.

3) $(x^7 - 3)(x^7 + 7) - (x^7 + 2)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении:

$(x^7 - 3)(x^7 + 7) = x^7 \cdot x^7 + 7 \cdot x^7 - 3 \cdot x^7 - 3 \cdot 7 = x^{14} + 4x^7 - 21$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^7 + 2)^2 = (x^7)^2 + 2 \cdot x^7 \cdot 2 + 2^2 = x^{14} + 4x^7 + 4$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(x^{14} + 4x^7 - 21) - (x^{14} + 4x^7 + 4) = x^{14} + 4x^7 - 21 - x^{14} - 4x^7 - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^{14} - x^{14}) + (4x^7 - 4x^7) + (-21 - 4) = 0 + 0 - 25 = -25$.

Ответ: $-25$.

4) $(x^8 + 9)(11 - x^8) - (x^8 + 1)^2$

Сначала раскроем скобки в произведении:

$(x^8 + 9)(11 - x^8) = x^8 \cdot 11 - x^8 \cdot x^8 + 9 \cdot 11 - 9 \cdot x^8 = 11x^8 - x^{16} + 99 - 9x^8 = -x^{16} + 2x^8 + 99$.

Далее, возведем в квадрат второе выражение, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^8 + 1)^2 = (x^8)^2 + 2 \cdot x^8 \cdot 1 + 1^2 = x^{16} + 2x^8 + 1$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(-x^{16} + 2x^8 + 99) - (x^{16} + 2x^8 + 1) = -x^{16} + 2x^8 + 99 - x^{16} - 2x^8 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^{16} - x^{16}) + (2x^8 - 2x^8) + (99 - 1) = -2x^{16} + 0 + 98 = 98 - 2x^{16}$.

Ответ: $98 - 2x^{16}$.