Номер 35.12, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.12.

1) $(y+7)^3 - y^3 - 21y^2 \ge 0;$

2) $-24y^2 + (8-y)^3 + y^3 \le 0;$

3) $(6-y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0;$

4) $y^3 - 27y^2 - (y-9)^3 > 0.$

1) Решим неравенство $(y+7)^3 - y^3 - 21y^2 \ge 0$.

Для решения неравенства раскроем скобки, применив формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3) - y^3 - 21y^2 \ge 0$

$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 - y^3 - 21y^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(y^3 - y^3) + (21y^2 - 21y^2) + 147y + 343 \ge 0$

$147y + 343 \ge 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$147y \ge -343$

$y \ge -\frac{343}{147}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 49 (так как $343 = 7 \cdot 49$ и $147 = 3 \cdot 49$):

$y \ge -\frac{7}{3}$

Ответ: $y \in [-\frac{7}{3}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-24y^2 + (8-y)^3 + y^3 \le 0$.

Для решения неравенства раскроем скобки, применив формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$-24y^2 + (8^3 - 3 \cdot 8^2 \cdot y + 3 \cdot 8 \cdot y^2 - y^3) + y^3 \le 0$

$-24y^2 + 512 - 192y + 24y^2 - y^3 + y^3 \le 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(-y^3 + y^3) + (-24y^2 + 24y^2) - 192y + 512 \le 0$

$-192y + 512 \le 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-192y \le -512$

При делении на отрицательное число (-192) знак неравенства меняется на противоположный:

$y \ge \frac{-512}{-192}$

$y \ge \frac{512}{192}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 64 (так как $512 = 8 \cdot 64$ и $192 = 3 \cdot 64$):

$y \ge \frac{8}{3}$

Ответ: $y \in [\frac{8}{3}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(6-y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0$.

Раскроем скобки по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot y + 3 \cdot 6 \cdot y^2 - y^3) + y^3 - 18y^2 < 0$

$216 - 108y + 18y^2 - y^3 + y^3 - 18y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-y^3 + y^3) + (18y^2 - 18y^2) - 108y + 216 < 0$

$-108y + 216 < 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-108y < -216$

Разделим обе части на -108, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{-216}{-108}$

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $y^3 - 27y^2 - (y-9)^3 > 0$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 9 + 3 \cdot y \cdot 9^2 - 9^3) > 0$

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 27y^2 + 243y - 729) > 0$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$y^3 - 27y^2 - y^3 + 27y^2 - 243y + 729 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-27y^2 + 27y^2) - 243y + 729 > 0$

$-243y + 729 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-243y > -729$

Разделим обе части на -243, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < \frac{-729}{-243}$

$y < 3$

Ответ: $y \in (-\infty; 3)$.