Номер 35.18, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (35.18–35.19):

35.18. 1) $8(x - 10)^2 - 11(x + 5)^2 = -3x^2 - 170x + 1600;$

2) $2.5(4 + x)^2 + 7(5 - x)(5 + x) = 295 - 4.5x^2;$

3) $1.9(y + 20)(20 - y) - 1.6(y + 20)^2 = 116 - 3.5y^2;$

4) $30(1.8 - y)^2 + 20(y + 1.8)(y - 1.8) = 50y^2 + 140.4.$

1) $8(x - 10)^2 - 11(x + 5)^2 = -3x^2 - 170x + 1600$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x - 10)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 - 20x + 100$

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$8(x^2 - 20x + 100) - 11(x^2 + 10x + 25) = -3x^2 - 170x + 1600$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член многочлена на соответствующий коэффициент:

$8x^2 - 160x + 800 - 11x^2 - 110x - 275 = -3x^2 - 170x + 1600$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(8x^2 - 11x^2) + (-160x - 110x) + (800 - 275) = -3x^2 - 170x + 1600$

$-3x^2 - 270x + 525 = -3x^2 - 170x + 1600$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы собрать все члены уравнения с одной стороны:

$-3x^2 - 270x + 525 + 3x^2 + 170x - 1600 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$(-3x^2 + 3x^2) + (-270x + 170x) + (525 - 1600) = 0$

$-100x - 1075 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-100x = 1075$

$x = \frac{1075}{-100}$

$x = -10,75$

Ответ: $-10,75$

2) $2,5(4 + x)^2 + 7(5 - x)(5 + x) = 295 - 4,5x^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(4+x)^2 = 16 + 8x + x^2$

$(5-x)(5+x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$2,5(16 + 8x + x^2) + 7(25 - x^2) = 295 - 4,5x^2$

Раскроем скобки:

$40 + 20x + 2,5x^2 + 175 - 7x^2 = 295 - 4,5x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2,5x^2 - 7x^2) + 20x + (40 + 175) = 295 - 4,5x^2$

$-4,5x^2 + 20x + 215 = 295 - 4,5x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в левую часть, а свободные члены в правую:

$-4,5x^2 + 4,5x^2 + 20x = 295 - 215$

Приведем подобные слагаемые:

$20x = 80$

Найдем $x$:

$x = \frac{80}{20}$

$x = 4$

Ответ: $4$

3) $1,9(y + 20)(20 - y) - 1,6(y + 20)^2 = 116 - 3,5y^2$

Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Заметим, что $(y+20)(20-y) = (20+y)(20-y)$.

$(20+y)(20-y) = 20^2 - y^2 = 400 - y^2$

$(y+20)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 20 + 20^2 = y^2 + 40y + 400$

Подставим в уравнение:

$1,9(400 - y^2) - 1,6(y^2 + 40y + 400) = 116 - 3,5y^2$

Раскроем скобки:

$760 - 1,9y^2 - 1,6y^2 - 64y - 640 = 116 - 3,5y^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-1,9y^2 - 1,6y^2) - 64y + (760 - 640) = 116 - 3,5y^2$

$-3,5y^2 - 64y + 120 = 116 - 3,5y^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-3,5y^2 - 64y + 120 - 116 + 3,5y^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-3,5y^2 + 3,5y^2) - 64y + (120 - 116) = 0$

$-64y + 4 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-64y = -4$

$y = \frac{-4}{-64}$

$y = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

4) $30(1,8 - y)^2 + 20(y + 1,8)(y - 1,8) = 50y^2 + 140,4$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$(1,8 - y)^2 = 1,8^2 - 2 \cdot 1,8 \cdot y + y^2 = 3,24 - 3,6y + y^2$

$(y + 1,8)(y - 1,8) = y^2 - 1,8^2 = y^2 - 3,24$

Подставим в уравнение:

$30(3,24 - 3,6y + y^2) + 20(y^2 - 3,24) = 50y^2 + 140,4$

Раскроем скобки:

$97,2 - 108y + 30y^2 + 20y^2 - 64,8 = 50y^2 + 140,4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(30y^2 + 20y^2) - 108y + (97,2 - 64,8) = 50y^2 + 140,4$

$50y^2 - 108y + 32,4 = 50y^2 + 140,4$

Перенесем слагаемые с $y^2$ в левую часть, а остальные в правую:

$50y^2 - 50y^2 - 108y = 140,4 - 32,4$

Приведем подобные слагаемые:

$-108y = 108$

Найдем $y$:

$y = \frac{108}{-108}$

$y = -1$

Ответ: $-1$