Номер 35.13, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.13. 1) $(10 + x)(100 - 10x + x^2) - x^3 - 500x < 0;$

2) $-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0;$

3) $(169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x \leq 0;$

4) $1331x - x^3 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) \geq 0.$

1) $(10 + x)(100 - 10x + x^2) - x^3 - 500x < 0$

В левой части неравенства мы видим выражение, соответствующее формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Для выражения $(10 + x)(100 - 10x + x^2)$, у нас $a=10$ и $b=x$. Следовательно, оно равно $10^3 + x^3$.

$(10 + x)(100 - 10x + x^2) = 10^3 + x^3 = 1000 + x^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(1000 + x^3) - x^3 - 500x < 0$

Упростим, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$1000 - 500x < 0$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$1000 < 500x$

$x > \frac{1000}{500}$

$x > 2$

Решение неравенства — это все числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0$

Выражение $(15 + x)(225 - 15x + x^2)$ также является суммой кубов. Здесь $a=15$ и $b=x$.

$(15 + x)(225 - 15x + x^2) = 15^3 + x^3 = 3375 + x^3$.

Подставим это в неравенство:

$-x^3 + 675x - (3375 + x^3) > 0$

Раскроем скобки и упростим:

$-x^3 + 675x - 3375 - x^3 > 0$

$-2x^3 + 675x - 3375 > 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^3 - 675x + 3375 < 0$

Решим это кубическое неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни уравнения $2x^3 - 675x + 3375 = 0$.

Проверкой можно установить, что $x=15$ является корнем: $2(15)^3 - 675(15) + 3375 = 2(3375) - 10125 + 3375 = 6750 - 10125 + 3375 = 0$.

Разделим многочлен $2x^3 - 675x + 3375$ на $(x-15)$, чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $2x^2 + 30x - 225$.

Теперь найдем корни уравнения $2x^2 + 30x - 225 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 30^2 - 4(2)(-225) = 900 + 1800 = 2700 = 900 \cdot 3$.

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{2700}}{2 \cdot 2} = \frac{-30 \pm 30\sqrt{3}}{4} = \frac{-15 \pm 15\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы имеем три корня: $x_1 = 15$, $x_2 = \frac{-15 + 15\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{-15 - 15\sqrt{3}}{2}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $x_3 < x_2 < x_1$.

Наше неравенство имеет вид $2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) < 0$.

Так как старший коэффициент (2) положителен, на самом правом интервале (при $x > 15$) многочлен будет положительным. Далее знаки чередуются.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; \frac{-15 - 15\sqrt{3}}{2})$ и $(\frac{-15 + 15\sqrt{3}}{2}; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{15(1+\sqrt{3})}{2}) \cup (\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}; 15)$.

3) $(169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x \le 0$

Выражение $(x - 13)(x^2 + 13x + 169)$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Здесь $a=x$ и $b=13$. Следовательно, $(x - 13)(x^2 + 13x + 169) = x^3 - 13^3 = x^3 - 2197$.

Подставим это в неравенство:

$(x^3 - 2197) - x^3 - 2262x \le 0$

Упростим, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$-2197 - 2262x \le 0$

Решим линейное неравенство:

$-2262x \le 2197$

$x \ge \frac{2197}{-2262}$

$x \ge -\frac{2197}{2262}$

Сократим дробь. Числитель $2197 = 13^3$. Знаменатель $2262 = 13 \cdot 174$.

$x \ge -\frac{13^3}{13 \cdot 174} = -\frac{13^2}{174} = -\frac{169}{174}$.

Ответ: $x \in [-\frac{169}{174}; +\infty)$.

4) $1331x - x^3 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) \ge 0$

Выражение $(11 + x)(x^2 - 11x + 121)$ — это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=11$ и $b=x$.

$(11 + x)(121 - 11x + x^2) = 11^3 + x^3 = 1331 + x^3$.

Подставим это в неравенство:

$1331x - x^3 + (1331 + x^3) \ge 0$

Упростим, сократив $-x^3$ и $x^3$:

$1331x + 1331 \ge 0$

Вынесем 1331 за скобки:

$1331(x + 1) \ge 0$

Так как 1331 — положительное число, разделим обе части на него:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.