Номер 35.14, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.14–35.15):

35.14. 1) $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy;$

2) $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25 (x^2 + y^2);$

3) $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2);$

4) $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2).$

1) Чтобы доказать тождество $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Сначала раскроем скобки:

$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$

Заметим, что $(4y - 3x)^2 = (-(3x - 4y))^2 = (3x - 4y)^2$. Раскроем и эти скобки:

$(4y - 3x)^2 = (4y)^2 - 2 \cdot (4y) \cdot (3x) + (3x)^2 = 16y^2 - 24xy + 9x^2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(9x^2 + 24xy + 16y^2) - (16y^2 - 24xy + 9x^2) = 9x^2 + 24xy + 16y^2 - 16y^2 + 24xy - 9x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (16y^2 - 16y^2) + (24xy + 24xy) = 0 + 0 + 48xy = 48xy$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy$.

2) Чтобы доказать тождество $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25(x^2 + y^2)$, преобразуем его левую часть. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы.

Раскроем скобки:

$(1,5x - 2y)^2 = (1,5x)^2 - 2 \cdot (1,5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2$

$(2x + 1,5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (1,5y) + (1,5y)^2 = 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2,25x^2 - 6xy + 4y^2) + (4x^2 + 6xy + 2,25y^2) = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2 + 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2,25x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2,25y^2) + (-6xy + 6xy) = 6,25x^2 + 6,25y^2$

Вынесем общий множитель $6,25$ за скобки:

$6,25(x^2 + y^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25(x^2 + y^2)$.

3) Чтобы доказать тождество $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки:

$(2a - 3b)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 - (3b)^3 = 8a^3 - 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b + 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 - 27b^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

$(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b + 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 + 27b^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

Теперь выполним вычитание:

$(8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3) - (8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3) = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 - 8a^3 - 36a^2b - 54ab^2 - 27b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(8a^3 - 8a^3) + (-36a^2b - 36a^2b) + (54ab^2 - 54ab^2) + (-27b^3 - 27b^3) = -72a^2b - 54b^3$

Вынесем общий множитель $-18b$ за скобки, чтобы привести выражение к виду правой части тождества:

$-72a^2b - 54b^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$.

4) Чтобы доказать тождество $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2)$, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба разности и куба суммы.

Раскроем скобки:

$(3a - 2b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 - (2b)^3 = 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 - 8b^3 = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3$

$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 + (2b)^3 = 27a^3 + 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 + 8b^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$

Теперь выполним сложение:

$(27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3) + (27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3) = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3 + 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(27a^3 + 27a^3) + (-54a^2b + 54a^2b) + (36ab^2 + 36ab^2) + (-8b^3 + 8b^3) = 54a^3 + 72ab^2$

Вынесем общий множитель $18a$ за скобки, чтобы привести выражение к виду правой части тождества:

$54a^3 + 72ab^2 = 18a(3a^2 + 4b^2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2)$.