Номер 35.23, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.23. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $ (x+9)^2 - x^2 > 15x - 79; $

2) $ x^2 - (11-x)^2 < 23x + 19; $

3) $ (x-8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x; $

4) $ x^3 - (7+x)^3 \ge -21x^2 - 490. $

1) $(x + 9)^2 - x^2 > 15x - 79$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - x^2 > 15x - 79$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 > 15x - 79$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$18x + 81 > 15x - 79$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$18x - 15x > -79 - 81$

$3x > -160$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > -\frac{160}{3}$

Представим дробь в виде смешанного числа для наглядности:

$x > -53\frac{1}{3}$

Наименьшее целое число, которое больше $-53\frac{1}{3}$, это $-53$.

Ответ: -53

2) $x^2 - (11 - x)^2 < 23x + 19$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (11^2 - 2 \cdot 11 \cdot x + x^2) < 23x + 19$

$x^2 - (121 - 22x + x^2) < 23x + 19$

$x^2 - 121 + 22x - x^2 < 23x + 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$22x - 121 < 23x + 19$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Удобнее перенести $x$ вправо, чтобы коэффициент был положительным:

$-121 - 19 < 23x - 22x$

$-140 < x$

Это неравенство можно записать как $x > -140$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это $-139$.

Ответ: -139

3) $(x - 8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 8^2 - 8^3) + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

$(x^3 - 24x^2 + 192x - 512) + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

Упростим левую часть, сократив $-24x^2$ и $24x^2$:

$x^3 + 192x - 512 \ge x^3 + 64x$

Сократим $x^3$ в обеих частях неравенства:

$192x - 512 \ge 64x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$192x - 64x \ge 512$

$128x \ge 512$

Разделим обе части на 128:

$x \ge \frac{512}{128}$

$x \ge 4$

Наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству $x \ge 4$, это само число 4.

Ответ: 4

4) $x^3 - (7 + x)^3 \ge -21x^2 - 490$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$x^3 - (7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot x + 3 \cdot 7 \cdot x^2 + x^3) \ge -21x^2 - 490$

$x^3 - (343 + 147x + 21x^2 + x^3) \ge -21x^2 - 490$

$x^3 - 343 - 147x - 21x^2 - x^3 \ge -21x^2 - 490$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-21x^2 - 147x - 343 \ge -21x^2 - 490$

Прибавим $21x^2$ к обеим частям неравенства, они сократятся:

$-147x - 343 \ge -490$

Перенесем число $-343$ в правую часть с противоположным знаком:

$-147x \ge -490 + 343$

$-147x \ge -147$

Разделим обе части на -147. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-147}{-147}$

$x \le 1$

Решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных 1. Целые решения этого неравенства: $1, 0, -1, -2, ...$ и так далее до минус бесконечности. Это множество не ограничено снизу, поэтому у него нет наименьшего элемента.

Ответ: Наименьшего целого решения не существует.