Номер 35.27, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.27. Докажите, что разность между разностью кубов двух нечетных чисел и кубом их разности кратна 6.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных нечетных числа. Нам нужно доказать, что выражение $(a^3 - b^3) - (a - b)^3$ кратно 6.

Сначала упростим данное выражение. Раскроем куб разности по формуле $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(a^3 - b^3) - (a - b)^3 = (a^3 - b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 = 3a^2b - 3ab^2$

Вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3a^2b - 3ab^2 = 3ab(a - b)$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $3ab(a - b)$ делится на 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.

1. Делимость на 3: Выражение $3ab(a - b)$ содержит множитель 3, поэтому оно всегда делится на 3 при любых целых $a$ и $b$.

2. Делимость на 2: Нам нужно доказать, что выражение $3ab(a - b)$ является четным. Для этого достаточно показать, что один из его сомножителей является четным. По условию, числа $a$ и $b$ — нечетные. Любое нечетное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — целое число.

Пусть $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.

Найдем их разность:

$a - b = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$.

Так как $k-m$ — целое число, то разность $a - b$ является четным числом (делится на 2).

Поскольку выражение $3ab(a - b)$ содержит четный множитель $(a - b)$, все произведение является четным и, следовательно, делится на 2.

Так как выражение $3ab(a - b)$ делится и на 3, и на 2, оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Утверждение доказано.