Номер 35.24, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.24–35.25):

35.24. 1)

$((a^7 - 8b^4) (8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(+2b^8 + a^{14}) = b^{16};$

2)

$b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12};$

3)

$(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4;$

4)

$0.5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2.5z^4 - 20z^5t^2.$

1) Для доказательства тождества $((a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14}) = b^{16}$ преобразуем его левую часть.
Первое произведение $(a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = a^7$ и $y = 8b^4$.
$(a^7 - 8b^4)(a^7 + 8b^4) = (a^7)^2 - (8b^4)^2 = a^{14} - 64b^8$.
Подставим это в выражение в больших скобках:
$(a^{14} - 64b^8 + 63b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14}) = (a^{14} - b^8)^2 - a^{14}(2b^8 + a^{14})$.
Теперь раскроем скобки. Возведем в квадрат по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^{14} - b^8)^2 = (a^{14})^2 - 2 \cdot a^{14} \cdot b^8 + (b^8)^2 = a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16}$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $a^{14}$ на скобку:
$- a^{14}(2b^8 + a^{14}) = -2a^{14}b^8 - a^{28}$.
Соберем все преобразованные части вместе:
$a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16} - 2a^{14}b^8 - a^{28}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{28} - a^{28}) + (-2a^{14}b^8 - 2a^{14}b^8) + b^{16} = -4a^{14}b^8 + b^{16}$.
В результате преобразования левой части мы получили выражение $-4a^{14}b^8 + b^{16}$, которое не равно правой части $b^{16}$ (кроме частных случаев, например, когда $a=0$). Следовательно, исходное равенство не является тождеством.
Ответ: данное равенство не является тождеством.

2) Для доказательства тождества $b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12}$ преобразуем его левую часть.
Упростим выражение в самых внутренних скобках $(b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6)$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=b^6$ и $y=9c^5$:
$(b^6 - 9c^5)(b^6 + 9c^5) = (b^6)^2 - (9c^5)^2 = b^{12} - 81c^{10}$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$b^{24} - (82c^{10} + b^{12} - 81c^{10})^2 + c^{20}$.
Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые:
$b^{24} - (b^{12} + c^{10})^2 + c^{20}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:
$b^{24} - ((b^{12})^2 + 2 \cdot b^{12} \cdot c^{10} + (c^{10})^2) + c^{20} = b^{24} - (b^{24} + 2b^{12}c^{10} + c^{20}) + c^{20}$.
$b^{24} - b^{24} - 2b^{12}c^{10} - c^{20} + c^{20}$.
Приведем подобные члены:
$(b^{24} - b^{24}) + (-c^{20} + c^{20}) - 2b^{12}c^{10} = -2b^{12}c^{10}$.
Левая часть тождества равна $-2b^{12}c^{10}$, что совпадает с правой частью $-2c^{10}b^{12}$.
Ответ: тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4$ преобразуем его левую часть.
Первые два слагаемых представляют собой разность квадратов двух выражений, что можно упростить по формуле $(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab$. В нашем случае $a=x^3$ и $b=9y^4$:
$(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 = -4 \cdot x^3 \cdot (9y^4) = -36x^3y^4$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$-36x^3y^4 + 36x^3(y^4 - x)$.
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$-36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^3 \cdot x = -36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^4$.
Приведем подобные члены:
$(-36x^3y^4 + 36x^3y^4) - 36x^4 = -36x^4$.
Левая часть тождества равна $-36x^4$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $0,5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2$ преобразуем его левую часть.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом:
$0,5z^4 \cdot 40zt^2 - 0,5z^4 \cdot 5 = 20z^5t^2 - 2,5z^4$.
Рассмотрим второе и третье слагаемые: $- (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2$. Это выражение вида $-(a+b)^2 + (b-a)^2$. Так как $(b-a)^2 = (a-b)^2$, то выражение можно переписать как $-(a+b)^2 + (a-b)^2$. Это соответствует формуле $-( (a+b)^2 - (a-b)^2 ) = -4ab$. В нашем случае $a=z^5$ и $b=10t^2$:
$-(z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -4 \cdot z^5 \cdot (10t^2) = -40z^5t^2$.
Теперь объединим все преобразованные части:
$(20z^5t^2 - 2,5z^4) - 40z^5t^2$.
Приведем подобные члены:
$-2,5z^4 + (20z^5t^2 - 40z^5t^2) = -2,5z^4 - 20z^5t^2$.
Левая часть тождества равна $-2,5z^4 - 20z^5t^2$, что совпадает с правой частью.
Ответ: тождество доказано.