Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.19. Вкладчик открыл в банке депозит из расчета 10% годовых. Через год он снял с депозита 60 000 тг, в результате на депозите осталась сумма, равная половине первоначального взноса. Какова сумма будет на депозите в конце второго года?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $S_0$ — первоначальная сумма вклада в тенге (тг).

Годовая процентная ставка составляет 10%. Это означает, что через год сумма на счете увеличится на 10%, то есть умножится на коэффициент 1,1. Сумма на депозите через год ($S_1$) составит:

$S_1 = S_0 + S_0 \cdot \frac{10}{100} = S_0 \cdot (1 + 0.1) = 1.1 \cdot S_0$

После начисления процентов вкладчик снял со счета 60 000 тг. Сумма, оставшаяся на депозите, стала:

$S'_1 = S_1 - 60000 = 1.1 \cdot S_0 - 60000$

Согласно условию, эта оставшаяся сумма равна половине первоначального взноса. Составим уравнение:

$1.1 \cdot S_0 - 60000 = \frac{1}{2} \cdot S_0$

$1.1 \cdot S_0 - 60000 = 0.5 \cdot S_0$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти первоначальный взнос $S_0$:

$1.1 \cdot S_0 - 0.5 \cdot S_0 = 60000$

$0.6 \cdot S_0 = 60000$

$S_0 = \frac{60000}{0.6} = 100000$ тг.

Таким образом, первоначальный взнос составлял 100 000 тг.

Сумма, которая осталась на депозите для начисления процентов на второй год, равна половине первоначального взноса:

$S'_1 = 0.5 \cdot S_0 = 0.5 \cdot 100000 = 50000$ тг.

В конце второго года на эту сумму снова будут начислены 10% годовых. Рассчитаем итоговую сумму ($S_2$):

$S_2 = 50000 + 50000 \cdot \frac{10}{100} = 50000 \cdot (1 + 0.1) = 50000 \cdot 1.1 = 55000$ тг.

Ответ: в конце второго года на депозите будет 55 000 тг.

36.20. От пристани A отошел плот и одновременно с ним от пристани B отплыла моторная лодка вверх по течению реки по направлению к A. Найдите собственную скорость лодки, если лодка и плот встретились через 2 ч, а путь, пройденный лодкой и плотом, равен 16 км.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_{л}$ — собственная скорость моторной лодки (в км/ч), а $v_{т}$ — скорость течения реки (в км/ч).

Согласно условию, от пристани А, которая находится выше по течению, отходит плот. Скорость плота равна скорости течения реки, так как у него нет собственного двигателя. Плот движется по течению (вниз по реке).

Скорость плота: $v_{п} = v_{т}$.

Одновременно от пристани В, которая находится ниже по течению, отплывает моторная лодка и движется вверх по течению (против течения) в направлении пристани А. Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения.

Скорость лодки против течения: $v_{л.пр.} = v_{л} - v_{т}$.

Плот и лодка движутся навстречу друг другу. Они встречаются через время $t = 2$ ч.

За это время плот пройдет расстояние $S_{п}$, равное произведению его скорости на время:

$S_{п} = v_{п} \cdot t = v_{т} \cdot 2$

За то же самое время лодка пройдет расстояние $S_{л}$:

$S_{л} = v_{л.пр.} \cdot t = (v_{л} - v_{т}) \cdot 2$

В условии сказано, что путь, пройденный лодкой и плотом, равен 16 км. Это означает, что сумма расстояний, которые они преодолели до встречи, равна 16 км. Это расстояние также является начальным расстоянием между пристанями А и В.

$S_{п} + S_{л} = 16$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $S_{п}$ и $S_{л}$:

$(v_{т} \cdot 2) + ((v_{л} - v_{т}) \cdot 2) = 16$

Раскроем скобки, чтобы решить уравнение относительно $v_{л}$:

$2v_{т} + 2v_{л} - 2v_{т} = 16$

Слагаемые, содержащие скорость течения ($2v_{т}$ и $-2v_{т}$), взаимно уничтожаются:

$2v_{л} = 16$

Теперь мы можем найти собственную скорость лодки:

$v_{л} = \frac{16}{2}$

$v_{л} = 8$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 8 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

36.21. От пристани вниз по течению реки отплыла лодка, скорость которой в стоячей воде равна 12 км/ч. Через 1 ч вверх по реке отправился катер, собственная скорость которого равна 18 км/ч. Найдите скорость течения реки, если через 3 ч после выхода лодки длина пути, пройденного лодкой и катером, будет равна 75 км.

Пусть скорость течения реки составляет $x$ км/ч.

Лодка отправилась вниз по течению, поэтому ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{лодки} = (12 + x)$ км/ч.

Катер отправился вверх по реке, то есть против течения. Его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{катера} = (18 - x)$ км/ч.

Задача рассматривает момент времени через 3 часа после выхода лодки. Следовательно, время движения лодки составляет $t_{лодки} = 3$ ч.

Катер отправился на 1 час позже лодки, значит, к указанному моменту он находился в пути $t_{катера} = 3 - 1 = 2$ ч.

Расстояние, которое прошла лодка за свое время, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:
$S_{лодки} = (12 + x) \cdot 3$ км.

Расстояние, которое прошел катер:
$S_{катера} = (18 - x) \cdot 2$ км.

Поскольку лодка и катер отправились от одной пристани в противоположных направлениях (один по течению, другой — против), общая длина пройденного ими пути равна сумме расстояний, которые прошел каждый из них. По условию, эта величина равна 75 км. Составим уравнение:
$S_{лодки} + S_{катера} = 75$
$3(12 + x) + 2(18 - x) = 75$

Решим полученное уравнение:
$36 + 3x + 36 - 2x = 75$
$72 + x = 75$
$x = 75 - 72$
$x = 3$

Таким образом, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

36.22. Среди 400 000 жителей города 60% не интересуются футболом.

Среди футбольных болельщиков 75% смотрели по телевидению финал Лиги чемпионов.

1) Сколько жителей этого города смотрели этот матч?

2) Какой процент жителей города смотрели этот матч?

3) Какой процент жителей города не смотрели этот матч?

1) Сколько жителей этого города смотрели этот матч?

Сначала определим количество жителей, которые интересуются футболом. Общее число жителей составляет 400 000. Из них 60% не интересуются футболом. Следовательно, доля интересующихся составляет:
$100\% - 60\% = 40\%$

Теперь найдем число футбольных болельщиков в городе:
$400000 \cdot \frac{40}{100} = 400000 \cdot 0.4 = 160000$ жителей.

Известно, что 75% из этих болельщиков смотрели финал Лиги чемпионов. Вычислим, сколько это человек:
$160000 \cdot \frac{75}{100} = 160000 \cdot 0.75 = 120000$ жителей.

Ответ: 120 000 жителей.

2) Какой процент жителей города смотрели этот матч?

Мы знаем, что матч смотрели 120 000 жителей из 400 000. Чтобы найти, какой это процент от общего числа жителей, составим пропорцию:
$\frac{120000}{400000} \cdot 100\% = \frac{12}{40} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$

Также можно было найти этот процент, перемножив доли. Доля болельщиков: $40\% = 0.4$. Доля смотревших матч среди болельщиков: $75\% = 0.75$.
Доля смотревших от общего числа жителей:
$0.4 \cdot 0.75 = 0.3$, что составляет $30\%$.

Ответ: 30%.

3) Какой процент жителей города не смотрели этот матч?

Если 30% жителей города смотрели матч, то оставшаяся часть жителей его не смотрела. Вычтем процент смотревших из 100%:
$100\% - 30\% = 70\%$

Ответ: 70%.

36.23. Глава семьи решил положить на депозит в банк 250 000 тг. Часть этих денег он положил на счет, процентный прирост которого составляет $10\%$. Оставшуюся часть положил на депозит под $9\%$ годовых, но с которого можно снимать деньги до неснижаемого остатка в 50 000 тг. Через год на депозитах была сумма в 274 000 тг.

1) Какая сумма была положена на депозит, прирост которого составляет $10\%$ годовых?

2) Какая сумма была через год на депозите, прирост которого составляет $9\%$ годовых?

3) На сколько тенге выгоднее положить всю сумму на депозит под $10\%$ годовых?

1) Какая сумма была положена на депозит, прирост которого составляет 10% годовых?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это сумма в тенге (тг), положенная на счет с процентным приростом 10% годовых, а $y$ — это сумма в тенге, положенная на депозит под 9% годовых.

Согласно условию, общая сумма, положенная в банк, составляет 250 000 тг. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 250000$

Через год сумма на первом счете (под 10%) составит $x + 0.10x = 1.1x$. Сумма на втором депозите (под 9%) составит $y + 0.09y = 1.09y$. Общая сумма на обоих депозитах через год стала 274 000 тг. Это дает нам второе уравнение:

$1.1x + 1.09y = 274000$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$x + y = 250000$
$1.1x + 1.09y = 274000$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 250000 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:

$1.1x + 1.09(250000 - x) = 274000$
$1.1x + 272500 - 1.09x = 274000$
$0.01x = 274000 - 272500$
$0.01x = 1500$
$x = \frac{1500}{0.01}$
$x = 150000$

Таким образом, на депозит с приростом 10% годовых была положена сумма 150 000 тг.

Ответ: 150 000 тг.

2) Какая сумма была через год на депозите, прирост которого составляет 9% годовых?

Сначала найдем начальную сумму $y$, положенную на депозит под 9%. Мы знаем, что $x = 150000$ тг, поэтому:

$y = 250000 - x = 250000 - 150000 = 100000$ тг.

Теперь рассчитаем, какая сумма стала на этом депозите через год с учетом процентного прироста 9%:

Сумма через год = $100000 \cdot (1 + 0.09) = 100000 \cdot 1.09 = 109000$ тг.

Ответ: 109 000 тг.

3) На сколько тенге выгоднее положить всю сумму на депозит под 10% годовых?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним фактический доход с гипотетическим, при котором вся начальная сумма (250 000 тг) была бы положена на депозит под 10% годовых.

Рассчитаем гипотетическую сумму через год:

Сумма через год = $250000 \cdot (1 + 0.10) = 250000 \cdot 1.1 = 275000$ тг.

Фактическая итоговая сумма на двух депозитах, согласно условию, составила 274 000 тг.

Найдем разницу:

Разница = $275000 - 274000 = 1000$ тг.

Таким образом, если бы вся сумма была положена на депозит под 10% годовых, это было бы выгоднее на 1000 тг.

Ответ: на 1000 тг.

36.24. Первый оператор на компьютере набирает рукопись за 9 ч, второй оператор за 6 ч. После того как первый оператор работал 3 ч, ему поручили другую работу. Оставшуюся часть рукописи набрал второй оператор.

1) За сколько часов второй оператор набрал оставшуюся часть работы?

2) За какое время выполнена вся работа?

3) Если половину работы выполнит один оператор, вторую половину второй оператор, то за какое время будет готова вся работа?

4) Если оба оператора одновременно набирают рукопись, то за какое время будет выполнена вся работа?

1) За сколько часов второй оператор набрал оставшуюся часть работы?Сначала определим производительность (скорость работы) каждого оператора. Примем всю работу по набору рукописи за 1. Производительность первого оператора составляет $V_1 = \frac{1}{9}$ работы в час, а производительность второго оператора — $V_2 = \frac{1}{6}$ работы в час. За 3 часа работы первый оператор выполнил часть рукописи, равную $W_1 = V_1 \times 3 = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Следовательно, осталась невыполненной часть работы $W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Время, которое потребовалось второму оператору, чтобы выполнить эту оставшуюся часть, вычисляется как отношение объема работы к производительности: $t_2 = \frac{W_{ост}}{V_2}$. Подставляем значения: $t_2 = \frac{2/3}{1/6} = \frac{2}{3} \times 6 = \frac{12}{3} = 4$ часа.Ответ: 4 часа.

2) За какое время выполнена вся работа?Работа была выполнена последовательно: сначала первый оператор работал 3 часа, а затем второй оператор работал 4 часа, чтобы закончить рукопись (согласно решению из пункта 1). Общее время, затраченное на выполнение всей работы, равно сумме времени работы обоих операторов над этой рукописью: $T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 + 4 = 7$ часов.Ответ: 7 часов.

3) Если половину работы выполнит один оператор, вторую половину второй оператор, то за какое время будет готова вся работа?Для выполнения половины работы ($W = \frac{1}{2}$) первому оператору потребуется время $t_{1, 1/2} = \frac{1/2}{V_1} = \frac{1/2}{1/9} = \frac{9}{2} = 4,5$ часа. Второму оператору на выполнение своей половины работы потребуется время $t_{2, 1/2} = \frac{1/2}{V_2} = \frac{1/2}{1/6} = \frac{6}{2} = 3$ часа. Поскольку операторы работают последовательно (один после другого), общее время выполнения всей работы будет равно сумме времени работы каждого из них: $T_{общ} = t_{1, 1/2} + t_{2, 1/2} = 4,5 + 3 = 7,5$ часов (или 7 часов 30 минут).Ответ: 7,5 часов.

4) Если оба оператора одновременно набирают рукопись, то за какое время будет выполнена вся работа?При одновременной работе их производительности складываются. Общая производительность будет равна $V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 18: $V_{общ} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$ работы в час. Время, за которое будет выполнена вся работа при совместной работе, является величиной, обратной общей производительности: $T_{общ} = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{5/18} = \frac{18}{5} = 3,6$ часа. Чтобы перевести 0,6 часа в минуты, умножим на 60: $0,6 \times 60 = 36$ минут. Таким образом, вся работа будет выполнена за 3 часа 36 минут.Ответ: 3,6 часа (или 3 часа 36 минут).