Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.25* Найдите такие двузначные числа, сумма цифр которых не больше 12, а цифра десятков втрое больше цифры единиц.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. По определению двузначного числа, $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — целое число от 0 до 9.

Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:
1. Сумма цифр не больше 12: $a + b \le 12$.
2. Цифра десятков втрое больше цифры единиц: $a = 3b$.

Начнем с выполнения второго, более строгого условия ($a = 3b$). Будем перебирать возможные значения для цифры единиц $b$, чтобы найти соответствующие значения для цифры десятков $a$.
- Если $b=0$, то $a = 3 \times 0 = 0$. Число 00 не является двузначным. Этот вариант не подходит.
- Если $b=1$, то $a = 3 \times 1 = 3$. Получаем число 31.
- Если $b=2$, то $a = 3 \times 2 = 6$. Получаем число 62.
- Если $b=3$, то $a = 3 \times 3 = 9$. Получаем число 93.
- Если $b$ равно 4 или больше, то $a$ будет равно 12 или больше ($a = 3 \times 4 = 12$), что невозможно, так как $a$ должна быть однозначной цифрой.

Таким образом, мы нашли три двузначных числа, которые удовлетворяют второму условию: 31, 62 и 93.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти числа первому условию ($a + b \le 12$).
- Для числа 31: сумма цифр равна $3 + 1 = 4$. Неравенство $4 \le 12$ верно.
- Для числа 62: сумма цифр равна $6 + 2 = 8$. Неравенство $8 \le 12$ верно.
- Для числа 93: сумма цифр равна $9 + 3 = 12$. Неравенство $12 \le 12$ верно.

Все три числа удовлетворяют обоим условиям задачи.

Ответ: 31, 62, 93.

36.26*. Средняя скорость автобуса больше $60 \text{ км/ч}$, но меньше $80 \text{ км/ч}$.

1) За какое время автобус может пройти путь в $240 \text{ км}$?

2) Какая должна быть скорость автобуса, чтобы проехать это расстояние не более чем за $3 \text{ ч } 20 \text{ мин}$?

1) За какое время автобус может пройти путь в 240 км?
Пусть $v$ — средняя скорость автобуса в км/ч, $s$ — пройденный путь в км, а $t$ — время в пути в часах.
По условию задачи, средняя скорость автобуса больше 60 км/ч, но меньше 80 км/ч. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$60 < v < 80$
Расстояние, которое нужно пройти, составляет $s = 240$ км.
Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$. Чтобы найти, в каких пределах может находиться время $t$, подставим значение $s = 240$ км в формулу: $t = \frac{240}{v}$.
Теперь используем неравенство для скорости. Так как все величины положительные, мы можем преобразовать неравенство $60 < v < 80$:
1. Возьмем обратные величины, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $\frac{1}{80} < \frac{1}{v} < \frac{1}{60}$.
2. Умножим все части неравенства на $s = 240$: $\frac{240}{80} < \frac{240}{v} < \frac{240}{60}$.
3. Вычислим значения: $3 < \frac{240}{v} < 4$.
Так как $t = \frac{240}{v}$, получаем неравенство для времени: $3 < t < 4$.
Это означает, что автобус может пройти путь в 240 км за время, которое больше 3 часов, но меньше 4 часов.
Ответ: время в пути будет больше 3 часов, но меньше 4 часов.

2) Какая должна быть скорость автобуса, чтобы проехать это расстояние не более чем за 3 ч 20 мин?
Во второй части задачи нужно найти скорость автобуса $v$, при которой он проедет то же расстояние $s = 240$ км за время $t$, не превышающее 3 ч 20 мин.
Сначала переведем время в часы:
$3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$.
Условие «не более чем за 3 ч 20 мин» означает, что $t \le \frac{10}{3}$ ч.
Скорость связана со временем и расстоянием формулой $v = \frac{s}{t}$.
Из неравенства для времени $t \le \frac{10}{3}$ следует, что $\frac{1}{t} \ge \frac{3}{10}$ (при взятии обратных величин от положительных чисел знак неравенства меняется).
Умножим обе части неравенства на $s = 240$:
$v \ge 240 \cdot \frac{3}{10}$
$v \ge 24 \cdot 3$
$v \ge 72$ км/ч.
Таким образом, чтобы успеть проехать расстояние за заданное время, скорость автобуса должна быть не меньше 72 км/ч.
При этом мы должны учесть исходное условие задачи: $60 < v < 80$.
Объединим два условия для скорости:
1) $v \ge 72$
2) $60 < v < 80$
Пересечением этих двух условий является интервал $72 \le v < 80$.
Следовательно, скорость автобуса должна быть не меньше 72 км/ч, но меньше 80 км/ч.
Ответ: скорость автобуса должна быть не меньше 72 км/ч, но меньше 80 км/ч, то есть $72 \le v < 80$ км/ч.

36.27. 1) Значение суммы двух двузначных чисел равно 36, а значение разности их квадратов равно 432. Найдите эти числа.

2) Составьте сюжетную задачу, решение которой приводит к уравнению:

а) $x(x-3) = 28$;

б) $\frac{42}{17 - x} - \frac{40}{17 + x} = 1$;

в) $\frac{20}{50 + x} + \frac{10}{10 - x} = 1$.

1)

Пусть первое искомое двузначное число будет $a$, а второе — $b$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 36, а разность их квадратов равна 432. Это можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a^2 - b^2 = 432 \end{cases}$

Второе уравнение системы представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Мы можем подставить значение $(a + b)$ из первого уравнения во второе:

$(a - b) \cdot 36 = 432$

Отсюда мы можем найти разность чисел $a$ и $b$:

$a - b = \frac{432}{36}$

$a - b = 12$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a - b = 12 \end{cases}$

Чтобы найти $a$, сложим оба уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 36 + 12$

$2a = 48$

$a = \frac{48}{2} = 24$

Теперь подставим найденное значение $a = 24$ в первое уравнение ($a + b = 36$), чтобы найти $b$:

$24 + b = 36$

$b = 36 - 24 = 12$

Мы получили числа 24 и 12. Оба числа являются двузначными, что соответствует условию. Проверим остальные условия:

Сумма чисел: $24 + 12 = 36$.

Разность их квадратов: $24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$.

Все условия выполнены.

Ответ: искомые числа — 24 и 12.

2)

а) $x(x-3) = 28$

Для составления задачи к этому уравнению можно использовать геометрический сюжет. Пусть $x$ — это длина одной стороны прямоугольника. Тогда $(x-3)$ — это длина другой стороны, которая на 3 единицы короче. Произведение длин сторон $x(x-3)$ равно площади прямоугольника. Если по условию площадь равна 28, то мы приходим к данному уравнению. Таким образом, получаем следующую задачу:

«Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 28 см².»

Ответ: Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 28 см².

б) $\frac{42}{17 - x} + \frac{40}{17 + x} = 1$

Для этого уравнения подходит классическая задача на движение по воде. Пусть собственная скорость катера равна 17 км/ч, а скорость течения реки — $x$ км/ч. Тогда скорость катера по течению составляет $(17+x)$ км/ч, а скорость против течения — $(17-x)$ км/ч. Время, затраченное на путь длиной 40 км по течению, равно $\frac{40}{17+x}$ часов. Время на путь длиной 42 км против течения равно $\frac{42}{17-x}$ часов. Если общее время на весь путь составляет 1 час, то мы получаем данное уравнение. Задача формулируется так:

«Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч. Катер прошел 42 км против течения реки и 40 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость течения реки.»

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч. Катер прошел 42 км против течения реки и 40 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость течения реки.

в) $\frac{20}{50 + x} + \frac{10}{10 - x} = 1$

Данное уравнение можно интерпретировать как задачу на движение. Предположим, что плановая скорость одного объекта составляла 50 км/ч, а второго — 10 км/ч. В результате некоторых изменений скорость первого увеличилась на $x$ км/ч, а второго — уменьшилась на ту же величину $x$ км/ч. Таким образом, их фактические скорости стали $(50+x)$ км/ч и $(10-x)$ км/ч. Первый объект проехал 20 км, на что ушло $\frac{20}{50+x}$ часов. Второй проехал 10 км за $\frac{10}{10-x}$ часов. Если общее время в пути составило 1 час, то сумма этих времен равна 1, что приводит к искомому уравнению. Задача может быть такой:

«Два автомобиля должны были ехать со скоростями 50 км/ч и 10 км/ч соответственно. Но скорость первого автомобиля увеличилась на некоторую величину, а скорость второго на ту же величину уменьшилась. В итоге первый автомобиль проехал 20 км, а второй — 10 км, затратив на весь путь суммарно 1 час. Найдите, на сколько изменилась скорость автомобилей.»

Ответ: Два автомобиля должны были ехать со скоростями 50 км/ч и 10 км/ч соответственно. Но скорость первого автомобиля увеличилась на некоторую величину, а скорость второго на ту же величину уменьшилась. В итоге первый автомобиль проехал 20 км, а второй — 10 км, затратив на весь путь суммарно 1 час. Найдите, на сколько изменилась скорость автомобилей.

36.28*. При делении 48 на значение суммы цифр другого двузначного числа получим в частном число 4. Разность квадратов цифр этого двузначного числа равна 24. Найдите двузначное число.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$. Тогда это число можно записать в виде $10x + y$. По определению двузначного числа, $x$ является цифрой от 1 до 9, а $y$ — цифрой от 0 до 9.

Исходя из первого условия задачи, частное от деления числа 48 на сумму цифр искомого числа ($x+y$) равно 4. Запишем это в виде математического уравнения: $$ \frac{48}{x+y} = 4 $$ Из этого уравнения мы можем выразить сумму цифр: $$ x+y = \frac{48}{4} $$ $$ x+y = 12 $$

Второе условие гласит, что разность квадратов цифр этого двузначного числа равна 24. Так как в условии не уточнено, из квадрата какой цифры вычитается квадрат другой, мы должны рассмотреть два возможных случая:
1) $x^2 - y^2 = 24$
2) $y^2 - x^2 = 24$

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя найденное нами уравнение $x+y=12$.

Случай 1: $x^2 - y^2 = 24$
Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставим известные значения: $$ (x-y) \cdot 12 = 24 $$ Отсюда находим разность цифр: $$ x-y = \frac{24}{12} $$ $$ x-y = 2 $$ Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y=12 \\ x-y=2 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$: $$ (x+y) + (x-y) = 12 + 2 $$ $$ 2x = 14 $$ $$ x = 7 $$ Подставим значение $x=7$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $$ 7+y=12 $$ $$ y = 5 $$ В этом случае искомое число — 75.

Случай 2: $y^2 - x^2 = 24$
Снова применим формулу разности квадратов: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$. Подставим известные значения: $$ (y-x) \cdot 12 = 24 $$ Отсюда находим разность цифр: $$ y-x = \frac{24}{12} $$ $$ y-x = 2 $$ Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x+y=12 \\ y-x=2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ (x+y) + (y-x) = 12 + 2 $$ $$ 2y = 14 $$ $$ y = 7 $$ Подставим значение $y=7$ в первое уравнение, чтобы найти $x$: $$ x+7=12 $$ $$ x = 5 $$ В этом случае искомое число — 57.

Оба числа, 75 и 57, полностью удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для 75: сумма цифр $7+5=12$, $48/12=4$. Разность квадратов $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Проверка для 57: сумма цифр $5+7=12$, $48/12=4$. Разность квадратов $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Так как формулировка задачи не позволяет однозначно выбрать один из двух вариантов, оба числа являются правильным ответом.

Ответ: 75 или 57.

36.29*. 1) Расстояние от пункта А до пункта В равно 180 км. Если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет больше 180 км. Если он уменьшит скорость на 20 км/ч, то даже за 3 ч не успеет доехать до пункта В. Какова скорость автомобиля?

2) Расстояние между двумя пристанями по озеру равно 36 км. Если моторная лодка увеличит скорость на 3 км/ч, то за 3 ч она проплывет более 36 км. Если же уменьшит на 2 км/ч, то за 4 ч еще не доплывет до пункта назначения. Какова скорость моторной лодки?

3) Расстояние между двумя мотоциклистами равно 7 км. Скорость одного из них равна 14 км/ч, другого — 16 км/ч. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет равно 1 км, если:
а) мотоциклисты движутся в одном направлении;
б) мотоциклисты движутся в разных направлениях? (рассмотреть все варианты.)

1)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Согласно условию, $v > 20$, так как скорость не может стать отрицательной или нулевой при уменьшении.

Первое условие: если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч (т.е. его скорость станет $v + 20$ км/ч), то за 2 часа он проедет более 180 км. Составим неравенство:$2 \cdot (v + 20) > 180$$v + 20 > 90$$v > 70$

Второе условие: если автомобиль уменьшит скорость на 20 км/ч (т.е. его скорость станет $v - 20$ км/ч), то за 3 часа он проедет менее 180 км. Составим неравенство:$3 \cdot (v - 20) < 180$$v - 20 < 60$$v < 80$

Объединим оба условия в систему неравенств:$\begin{cases} v > 70 \\ v < 80 \end{cases}$Решением системы является интервал $70 < v < 80$.

Ответ: скорость автомобиля больше 70 км/ч, но меньше 80 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. По условию, $v > 2$.

Первое условие: если лодка увеличит скорость на 3 км/ч (скорость станет $v + 3$ км/ч), то за 3 часа она проплывет более 36 км. Составим неравенство:$3 \cdot (v + 3) > 36$$v + 3 > 12$$v > 9$

Второе условие: если лодка уменьшит скорость на 2 км/ч (скорость станет $v - 2$ км/ч), то за 4 часа она проплывет менее 36 км. Составим неравенство:$4 \cdot (v - 2) < 36$$v - 2 < 9$$v < 11$

Получаем систему неравенств:$\begin{cases} v > 9 \\ v < 11 \end{cases}$Решением системы является интервал $9 < v < 11$. Поскольку в таких задачах скорость часто является целым числом, проверим единственное целое число в этом интервале — 10.Если $v = 10$ км/ч:$3 \cdot (10 + 3) = 3 \cdot 13 = 39 > 36$ (верно)$4 \cdot (10 - 2) = 4 \cdot 8 = 32 < 36$ (верно)Таким образом, целочисленное решение подходит.

Ответ: скорость моторной лодки равна 10 км/ч.

3)

Дано: скорость первого мотоциклиста $v_1 = 14$ км/ч, скорость второго $v_2 = 16$ км/ч. Начальное расстояние между ними $S_0 = 7$ км. Требуется найти время $t$, через которое расстояние станет $S_{финал} = 1$ км.

а) мотоциклисты движутся в одном направлении;

В этом случае возможны два варианта расположения. Однако, если более медленный мотоциклист (14 км/ч) будет ехать впереди, то более быстрый (16 км/ч) будет его догонять. Если же впереди будет более быстрый, то расстояние между ними будет только увеличиваться и никогда не станет равным 1 км. Следовательно, рассматриваем только случай, когда быстрый догоняет медленного.

Пусть в начальный момент времени быстрый мотоциклист находится в точке 0, а медленный — в точке 7. Их координаты в момент времени $t$ будут:

$x_1(t) = 16t$

$x_2(t) = 7 + 14t$

Расстояние между ними: $S(t) = |x_2(t) - x_1(t)| = |(7 + 14t) - 16t| = |7 - 2t|$.

Нам нужно, чтобы $S(t) = 1$, то есть $|7 - 2t| = 1$. Это уравнение распадается на два:

1. $7 - 2t = 1 \implies 2t = 6 \implies t_1 = 3$ ч. Это произойдет до того, как быстрый мотоциклист догонит и обгонит медленного.

2. $7 - 2t = -1 \implies 2t = 8 \implies t_2 = 4$ ч. Это произойдет после того, как быстрый мотоциклист обгонит медленного и уедет от него на 1 км.

Ответ: через 3 часа или через 4 часа.

б) мотоциклисты движутся в разных направлениях;

Здесь также возможны два варианта: они движутся навстречу друг другу или в противоположные стороны (удаляются друг от друга). Если они удаляются, то расстояние между ними, равное 7 км, будет только увеличиваться. Значит, они движутся навстречу друг другу.

Пусть в начальный момент времени один мотоциклист (14 км/ч) находится в точке 0 и движется вправо, а второй (16 км/ч) — в точке 7 и движется влево. Их координаты в момент времени $t$:

$x_1(t) = 14t$

$x_2(t) = 7 - 16t$

Расстояние между ними: $S(t) = |x_2(t) - x_1(t)| = |(7 - 16t) - 14t| = |7 - 30t|$.

Нам нужно, чтобы $S(t) = 1$, то есть $|7 - 30t| = 1$. Это уравнение также распадается на два:

1. $7 - 30t = 1 \implies 30t = 6 \implies t_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ часа. Это равно $1/5 \cdot 60 = 12$ минут. Это произойдет до их встречи.

2. $7 - 30t = -1 \implies 30t = 8 \implies t_2 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ часа. Это равно $4/15 \cdot 60 = 16$ минут. Это произойдет после того, как они встретятся и разъедутся на 1 км.

Ответ: через 12 минут или через 16 минут.