Номер 36.27, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.27. 1) Значение суммы двух двузначных чисел равно 36, а значение разности их квадратов равно 432. Найдите эти числа.

2) Составьте сюжетную задачу, решение которой приводит к уравнению:

а) $x(x-3) = 28$;

б) $\frac{42}{17 - x} - \frac{40}{17 + x} = 1$;

в) $\frac{20}{50 + x} + \frac{10}{10 - x} = 1$.

1)

Пусть первое искомое двузначное число будет $a$, а второе — $b$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 36, а разность их квадратов равна 432. Это можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a^2 - b^2 = 432 \end{cases}$

Второе уравнение системы представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Мы можем подставить значение $(a + b)$ из первого уравнения во второе:

$(a - b) \cdot 36 = 432$

Отсюда мы можем найти разность чисел $a$ и $b$:

$a - b = \frac{432}{36}$

$a - b = 12$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} a + b = 36 \\ a - b = 12 \end{cases}$

Чтобы найти $a$, сложим оба уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 36 + 12$

$2a = 48$

$a = \frac{48}{2} = 24$

Теперь подставим найденное значение $a = 24$ в первое уравнение ($a + b = 36$), чтобы найти $b$:

$24 + b = 36$

$b = 36 - 24 = 12$

Мы получили числа 24 и 12. Оба числа являются двузначными, что соответствует условию. Проверим остальные условия:

Сумма чисел: $24 + 12 = 36$.

Разность их квадратов: $24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$.

Все условия выполнены.

Ответ: искомые числа — 24 и 12.

2)

а) $x(x-3) = 28$

Для составления задачи к этому уравнению можно использовать геометрический сюжет. Пусть $x$ — это длина одной стороны прямоугольника. Тогда $(x-3)$ — это длина другой стороны, которая на 3 единицы короче. Произведение длин сторон $x(x-3)$ равно площади прямоугольника. Если по условию площадь равна 28, то мы приходим к данному уравнению. Таким образом, получаем следующую задачу:

«Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 28 см².»

Ответ: Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 28 см².

б) $\frac{42}{17 - x} + \frac{40}{17 + x} = 1$

Для этого уравнения подходит классическая задача на движение по воде. Пусть собственная скорость катера равна 17 км/ч, а скорость течения реки — $x$ км/ч. Тогда скорость катера по течению составляет $(17+x)$ км/ч, а скорость против течения — $(17-x)$ км/ч. Время, затраченное на путь длиной 40 км по течению, равно $\frac{40}{17+x}$ часов. Время на путь длиной 42 км против течения равно $\frac{42}{17-x}$ часов. Если общее время на весь путь составляет 1 час, то мы получаем данное уравнение. Задача формулируется так:

«Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч. Катер прошел 42 км против течения реки и 40 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость течения реки.»

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч. Катер прошел 42 км против течения реки и 40 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость течения реки.

в) $\frac{20}{50 + x} + \frac{10}{10 - x} = 1$

Данное уравнение можно интерпретировать как задачу на движение. Предположим, что плановая скорость одного объекта составляла 50 км/ч, а второго — 10 км/ч. В результате некоторых изменений скорость первого увеличилась на $x$ км/ч, а второго — уменьшилась на ту же величину $x$ км/ч. Таким образом, их фактические скорости стали $(50+x)$ км/ч и $(10-x)$ км/ч. Первый объект проехал 20 км, на что ушло $\frac{20}{50+x}$ часов. Второй проехал 10 км за $\frac{10}{10-x}$ часов. Если общее время в пути составило 1 час, то сумма этих времен равна 1, что приводит к искомому уравнению. Задача может быть такой:

«Два автомобиля должны были ехать со скоростями 50 км/ч и 10 км/ч соответственно. Но скорость первого автомобиля увеличилась на некоторую величину, а скорость второго на ту же величину уменьшилась. В итоге первый автомобиль проехал 20 км, а второй — 10 км, затратив на весь путь суммарно 1 час. Найдите, на сколько изменилась скорость автомобилей.»

Ответ: Два автомобиля должны были ехать со скоростями 50 км/ч и 10 км/ч соответственно. Но скорость первого автомобиля увеличилась на некоторую величину, а скорость второго на ту же величину уменьшилась. В итоге первый автомобиль проехал 20 км, а второй — 10 км, затратив на весь путь суммарно 1 час. Найдите, на сколько изменилась скорость автомобилей.