Номер 36.29, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.29*. 1) Расстояние от пункта А до пункта В равно 180 км. Если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет больше 180 км. Если он уменьшит скорость на 20 км/ч, то даже за 3 ч не успеет доехать до пункта В. Какова скорость автомобиля?

2) Расстояние между двумя пристанями по озеру равно 36 км. Если моторная лодка увеличит скорость на 3 км/ч, то за 3 ч она проплывет более 36 км. Если же уменьшит на 2 км/ч, то за 4 ч еще не доплывет до пункта назначения. Какова скорость моторной лодки?

3) Расстояние между двумя мотоциклистами равно 7 км. Скорость одного из них равна 14 км/ч, другого — 16 км/ч. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет равно 1 км, если:
а) мотоциклисты движутся в одном направлении;
б) мотоциклисты движутся в разных направлениях? (рассмотреть все варианты.)

1)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Согласно условию, $v > 20$, так как скорость не может стать отрицательной или нулевой при уменьшении.

Первое условие: если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч (т.е. его скорость станет $v + 20$ км/ч), то за 2 часа он проедет более 180 км. Составим неравенство:$2 \cdot (v + 20) > 180$$v + 20 > 90$$v > 70$

Второе условие: если автомобиль уменьшит скорость на 20 км/ч (т.е. его скорость станет $v - 20$ км/ч), то за 3 часа он проедет менее 180 км. Составим неравенство:$3 \cdot (v - 20) < 180$$v - 20 < 60$$v < 80$

Объединим оба условия в систему неравенств:$\begin{cases} v > 70 \\ v < 80 \end{cases}$Решением системы является интервал $70 < v < 80$.

Ответ: скорость автомобиля больше 70 км/ч, но меньше 80 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. По условию, $v > 2$.

Первое условие: если лодка увеличит скорость на 3 км/ч (скорость станет $v + 3$ км/ч), то за 3 часа она проплывет более 36 км. Составим неравенство:$3 \cdot (v + 3) > 36$$v + 3 > 12$$v > 9$

Второе условие: если лодка уменьшит скорость на 2 км/ч (скорость станет $v - 2$ км/ч), то за 4 часа она проплывет менее 36 км. Составим неравенство:$4 \cdot (v - 2) < 36$$v - 2 < 9$$v < 11$

Получаем систему неравенств:$\begin{cases} v > 9 \\ v < 11 \end{cases}$Решением системы является интервал $9 < v < 11$. Поскольку в таких задачах скорость часто является целым числом, проверим единственное целое число в этом интервале — 10.Если $v = 10$ км/ч:$3 \cdot (10 + 3) = 3 \cdot 13 = 39 > 36$ (верно)$4 \cdot (10 - 2) = 4 \cdot 8 = 32 < 36$ (верно)Таким образом, целочисленное решение подходит.

Ответ: скорость моторной лодки равна 10 км/ч.

3)

Дано: скорость первого мотоциклиста $v_1 = 14$ км/ч, скорость второго $v_2 = 16$ км/ч. Начальное расстояние между ними $S_0 = 7$ км. Требуется найти время $t$, через которое расстояние станет $S_{финал} = 1$ км.

а) мотоциклисты движутся в одном направлении;

В этом случае возможны два варианта расположения. Однако, если более медленный мотоциклист (14 км/ч) будет ехать впереди, то более быстрый (16 км/ч) будет его догонять. Если же впереди будет более быстрый, то расстояние между ними будет только увеличиваться и никогда не станет равным 1 км. Следовательно, рассматриваем только случай, когда быстрый догоняет медленного.

Пусть в начальный момент времени быстрый мотоциклист находится в точке 0, а медленный — в точке 7. Их координаты в момент времени $t$ будут:

$x_1(t) = 16t$

$x_2(t) = 7 + 14t$

Расстояние между ними: $S(t) = |x_2(t) - x_1(t)| = |(7 + 14t) - 16t| = |7 - 2t|$.

Нам нужно, чтобы $S(t) = 1$, то есть $|7 - 2t| = 1$. Это уравнение распадается на два:

1. $7 - 2t = 1 \implies 2t = 6 \implies t_1 = 3$ ч. Это произойдет до того, как быстрый мотоциклист догонит и обгонит медленного.

2. $7 - 2t = -1 \implies 2t = 8 \implies t_2 = 4$ ч. Это произойдет после того, как быстрый мотоциклист обгонит медленного и уедет от него на 1 км.

Ответ: через 3 часа или через 4 часа.

б) мотоциклисты движутся в разных направлениях;

Здесь также возможны два варианта: они движутся навстречу друг другу или в противоположные стороны (удаляются друг от друга). Если они удаляются, то расстояние между ними, равное 7 км, будет только увеличиваться. Значит, они движутся навстречу друг другу.

Пусть в начальный момент времени один мотоциклист (14 км/ч) находится в точке 0 и движется вправо, а второй (16 км/ч) — в точке 7 и движется влево. Их координаты в момент времени $t$:

$x_1(t) = 14t$

$x_2(t) = 7 - 16t$

Расстояние между ними: $S(t) = |x_2(t) - x_1(t)| = |(7 - 16t) - 14t| = |7 - 30t|$.

Нам нужно, чтобы $S(t) = 1$, то есть $|7 - 30t| = 1$. Это уравнение также распадается на два:

1. $7 - 30t = 1 \implies 30t = 6 \implies t_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ часа. Это равно $1/5 \cdot 60 = 12$ минут. Это произойдет до их встречи.

2. $7 - 30t = -1 \implies 30t = 8 \implies t_2 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ часа. Это равно $4/15 \cdot 60 = 16$ минут. Это произойдет после того, как они встретятся и разъедутся на 1 км.

Ответ: через 12 минут или через 16 минут.