Номер 36.28, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.28*. При делении 48 на значение суммы цифр другого двузначного числа получим в частном число 4. Разность квадратов цифр этого двузначного числа равна 24. Найдите двузначное число.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$. Тогда это число можно записать в виде $10x + y$. По определению двузначного числа, $x$ является цифрой от 1 до 9, а $y$ — цифрой от 0 до 9.

Исходя из первого условия задачи, частное от деления числа 48 на сумму цифр искомого числа ($x+y$) равно 4. Запишем это в виде математического уравнения: $$ \frac{48}{x+y} = 4 $$ Из этого уравнения мы можем выразить сумму цифр: $$ x+y = \frac{48}{4} $$ $$ x+y = 12 $$

Второе условие гласит, что разность квадратов цифр этого двузначного числа равна 24. Так как в условии не уточнено, из квадрата какой цифры вычитается квадрат другой, мы должны рассмотреть два возможных случая:
1) $x^2 - y^2 = 24$
2) $y^2 - x^2 = 24$

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя найденное нами уравнение $x+y=12$.

Случай 1: $x^2 - y^2 = 24$
Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставим известные значения: $$ (x-y) \cdot 12 = 24 $$ Отсюда находим разность цифр: $$ x-y = \frac{24}{12} $$ $$ x-y = 2 $$ Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y=12 \\ x-y=2 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$: $$ (x+y) + (x-y) = 12 + 2 $$ $$ 2x = 14 $$ $$ x = 7 $$ Подставим значение $x=7$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $$ 7+y=12 $$ $$ y = 5 $$ В этом случае искомое число — 75.

Случай 2: $y^2 - x^2 = 24$
Снова применим формулу разности квадратов: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$. Подставим известные значения: $$ (y-x) \cdot 12 = 24 $$ Отсюда находим разность цифр: $$ y-x = \frac{24}{12} $$ $$ y-x = 2 $$ Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x+y=12 \\ y-x=2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ (x+y) + (y-x) = 12 + 2 $$ $$ 2y = 14 $$ $$ y = 7 $$ Подставим значение $y=7$ в первое уравнение, чтобы найти $x$: $$ x+7=12 $$ $$ x = 5 $$ В этом случае искомое число — 57.

Оба числа, 75 и 57, полностью удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для 75: сумма цифр $7+5=12$, $48/12=4$. Разность квадратов $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Проверка для 57: сумма цифр $5+7=12$, $48/12=4$. Разность квадратов $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Так как формулировка задачи не позволяет однозначно выбрать один из двух вариантов, оба числа являются правильным ответом.

Ответ: 75 или 57.