Номер 36.31, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.31. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида:

1) $ \frac{2x^2 - 3x + 3}{4} $;

2) $ 36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} $;

3) $ 2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3} $;

4) $ x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4} $.

1) Чтобы представить выражение $\frac{2x^2 - 3x + 3}{4}$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель. Это называется почленным делением.

$\frac{2x^2 - 3x + 3}{4} = \frac{2x^2}{4} - \frac{3x}{4} + \frac{3}{4}$

Далее, упростим (сократим) коэффициенты у каждого одночлена, где это возможно:

$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

Полученный многочлен уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

2) Для преобразования выражения $36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$ в многочлен, сначала приведем все члены к общему знаменателю 2.

$36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} = \frac{36x \cdot 2}{2} - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} = \frac{72x}{2} - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$

Теперь объединим дроби в одну. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всем членам ее числителя:

$\frac{72x - (x^2 + 4x + 5)}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{72x - x^2 - 4x - 5}{2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе и расположим их в порядке убывания степеней:

$\frac{-x^2 + (72x - 4x) - 5}{2} = \frac{-x^2 + 68x - 5}{2}$

Выполним почленное деление числителя на знаменатель:

$-\frac{x^2}{2} + \frac{68x}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$

3) В выражении $2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$ первым шагом преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{7}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$

Так как знаменатели уже одинаковы, объединим дроби:

$\frac{7x - (7 - 5x + 2x^3)}{3}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные:

$\frac{7x - 7 + 5x - 2x^3}{3}$

Приведем подобные слагаемые и расположим члены в порядке убывания степеней переменной $x$ для получения стандартного вида:

$\frac{-2x^3 + (7x + 5x) - 7}{3} = \frac{-2x^3 + 12x - 7}{3}$

Разделим каждый член числителя на 3:

$-\frac{2}{3}x^3 + \frac{12}{3}x - \frac{7}{3} = -\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$

4) В выражении $x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}$ мы видим две дроби с одинаковым знаменателем 4. Объединим их:

$x^2 + 1 + \frac{-(x - 3) + (8x^2 - 3)}{4}$

Упростим числитель полученной дроби:

$x^2 + 1 + \frac{-x + 3 + 8x^2 - 3}{4} = x^2 + 1 + \frac{8x^2 - x}{4}$

Теперь приведем все выражение к общему знаменателю 4:

$\frac{4(x^2 + 1)}{4} + \frac{8x^2 - x}{4} = \frac{4x^2 + 4}{4} + \frac{8x^2 - x}{4}$

Сложим числители:

$\frac{4x^2 + 4 + 8x^2 - x}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе и запишем в стандартном порядке:

$\frac{(4x^2 + 8x^2) - x + 4}{4} = \frac{12x^2 - x + 4}{4}$

Наконец, выполним почленное деление:

$\frac{12x^2}{4} - \frac{x}{4} + \frac{4}{4} = 3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$

Ответ: $3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$