Страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.30. Найдите значение переменной, при котором значение выражения равно нулю:

1) $2x - 5$

2) $36x - 4x^2$

3) $2\frac{1}{3}x - 14$

4) $x^2 - 16$

5) $25 - x^2$

6) $9x + 4x^2$

1) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения равно нулю, необходимо приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение:

$2x - 5 = 0$

Переносим слагаемое $-5$ в правую часть уравнения, изменяя его знак на противоположный:

$2x = 5$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{5}{2}$

$x = 2,5$

Ответ: $2,5$.

2) Приравниваем выражение к нулю:

$36x - 4x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(9 - x) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$4x = 0$ или $9 - x = 0$

Решая первое уравнение, получаем: $x_1 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем: $x_2 = 9$.

Ответ: $0; 9$.

3) Приравниваем выражение к нулю:

$2\frac{1}{3}x - 14 = 0$

Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7}{3}x - 14 = 0$

Переносим $-14$ в правую часть:

$\frac{7}{3}x = 14$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{7}$:

$x = 14 \cdot \frac{3}{7}$

$x = \frac{14 \cdot 3}{7} = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: $6$.

4) Приравниваем выражение к нулю:

$x^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, перенеся $-16$ вправо:

$x^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Альтернативный способ — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-4)(x+4) = 0$

Отсюда $x-4=0$ или $x+4=0$, что дает те же корни.

Ответ: $-4; 4$.

5) Приравниваем выражение к нулю:

$25 - x^2 = 0$

Переносим $-x^2$ вправо:

$25 = x^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Также можно было использовать формулу разности квадратов:

$(5-x)(5+x) = 0$, откуда $x=5$ или $x=-5$.

Ответ: $-5; 5$.

6) Приравниваем выражение к нулю:

$9x + 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9 + 4x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $9 + 4x = 0$

Первый корень: $x_1 = 0$.

Решаем второе уравнение:

$4x = -9$

$x = -\frac{9}{4}$

$x_2 = -2,25$

Ответ: $-2,25; 0$.

36.31. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида:

1) $ \frac{2x^2 - 3x + 3}{4} $;

2) $ 36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} $;

3) $ 2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3} $;

4) $ x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4} $.

1) Чтобы представить выражение $\frac{2x^2 - 3x + 3}{4}$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель. Это называется почленным делением.

$\frac{2x^2 - 3x + 3}{4} = \frac{2x^2}{4} - \frac{3x}{4} + \frac{3}{4}$

Далее, упростим (сократим) коэффициенты у каждого одночлена, где это возможно:

$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

Полученный многочлен уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

2) Для преобразования выражения $36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$ в многочлен, сначала приведем все члены к общему знаменателю 2.

$36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} = \frac{36x \cdot 2}{2} - \frac{x^2 + 4x + 5}{2} = \frac{72x}{2} - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$

Теперь объединим дроби в одну. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всем членам ее числителя:

$\frac{72x - (x^2 + 4x + 5)}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{72x - x^2 - 4x - 5}{2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе и расположим их в порядке убывания степеней:

$\frac{-x^2 + (72x - 4x) - 5}{2} = \frac{-x^2 + 68x - 5}{2}$

Выполним почленное деление числителя на знаменатель:

$-\frac{x^2}{2} + \frac{68x}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$

3) В выражении $2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$ первым шагом преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{7}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$

Так как знаменатели уже одинаковы, объединим дроби:

$\frac{7x - (7 - 5x + 2x^3)}{3}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные:

$\frac{7x - 7 + 5x - 2x^3}{3}$

Приведем подобные слагаемые и расположим члены в порядке убывания степеней переменной $x$ для получения стандартного вида:

$\frac{-2x^3 + (7x + 5x) - 7}{3} = \frac{-2x^3 + 12x - 7}{3}$

Разделим каждый член числителя на 3:

$-\frac{2}{3}x^3 + \frac{12}{3}x - \frac{7}{3} = -\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$

4) В выражении $x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}$ мы видим две дроби с одинаковым знаменателем 4. Объединим их:

$x^2 + 1 + \frac{-(x - 3) + (8x^2 - 3)}{4}$

Упростим числитель полученной дроби:

$x^2 + 1 + \frac{-x + 3 + 8x^2 - 3}{4} = x^2 + 1 + \frac{8x^2 - x}{4}$

Теперь приведем все выражение к общему знаменателю 4:

$\frac{4(x^2 + 1)}{4} + \frac{8x^2 - x}{4} = \frac{4x^2 + 4}{4} + \frac{8x^2 - x}{4}$

Сложим числители:

$\frac{4x^2 + 4 + 8x^2 - x}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе и запишем в стандартном порядке:

$\frac{(4x^2 + 8x^2) - x + 4}{4} = \frac{12x^2 - x + 4}{4}$

Наконец, выполним почленное деление:

$\frac{12x^2}{4} - \frac{x}{4} + \frac{4}{4} = 3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$

Ответ: $3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$