Страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.2. В шахматном турнире участвовало 20 учащихся из 6 и 7 классов. Учащихся из 7 класса было в 1,5 раза больше, чем из 6. Найдите число участников турнира из 6 и 7 классов.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество учащихся из 6 класса.

Из условия известно, что учащихся из 7 класса было в 1,5 раза больше, чем из 6. Следовательно, количество учащихся из 7 класса можно выразить как $1,5x$.

Общее число участников турнира — 20 человек. Это сумма учащихся из 6 и 7 классов. Составим уравнение:

$x + 1,5x = 20$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сложим слагаемые с $x$ в левой части уравнения:

$2,5x = 20$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,5:

$x = 20 / 2,5$

$x = 8$

Итак, в турнире участвовало 8 учащихся из 6 класса.

Теперь найдем количество участников из 7 класса, умножив число шестиклассников на 1,5:

$1,5 * 8 = 12$

Таким образом, из 7 класса было 12 учащихся.

Проверим: общее количество участников $8 + 12 = 20$, что соответствует условию задачи.

Ответ: из 6 класса в турнире участвовало 8 учащихся, а из 7 класса — 12 учащихся.

36.3. В седьмых классах девочек в 1,4 раза больше, чем мальчиков. Найдите число учащихся в седьмых классах, если девочек на 16 больше, чем мальчиков.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $м$ — это количество мальчиков в седьмых классах, а $д$ — количество девочек.

Из первого условия, что девочек в 1,4 раза больше, чем мальчиков, следует уравнение:

$д = 1,4 \cdot м$

Из второго условия, что девочек на 16 больше, чем мальчиков, следует второе уравнение:

$д = м + 16$

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$1,4м = м + 16$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество мальчиков. Перенесем $м$ в левую часть уравнения:

$1,4м - м = 16$

$0,4м = 16$

$м = 16 \div 0,4$

$м = 40$

Итак, в седьмых классах 40 мальчиков.

Теперь найдем количество девочек, подставив значение $м$ в любое из первоначальных уравнений. Возьмем второе:

$д = 40 + 16 = 56$

В седьмых классах 56 девочек.

Общее число учащихся в седьмых классах равно сумме числа мальчиков и девочек:

Всего учащихся = $40 + 56 = 96$

Ответ: 96 учащихся.

36.4. В одной коробке было в 3 раза больше яблок, чем в другой. Если из нее взять 17 яблок, в другую коробку добавить 35, то в обеих коробках яблок станет поровну. Сколько яблок было первоначально в каждой коробке?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество яблок, которое было первоначально во второй коробке.

Поскольку в первой коробке было в 3 раза больше яблок, то в ней было $3x$ яблок.

Из первой коробки взяли 17 яблок, значит, в ней осталось $3x - 17$ яблок.

Во вторую коробку добавили 35 яблок, значит, в ней стало $x + 35$ яблок.

После этих действий количество яблок в обеих коробках стало равным. Составим и решим уравнение:

$3x - 17 = x + 35$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3x - x = 35 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$2x = 52$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{52}{2}$

$x = 26$

Итак, мы нашли, что во второй коробке первоначально было 26 яблок.

Теперь найдем, сколько яблок было в первой коробке:

$3 \times x = 3 \times 26 = 78$

В первой коробке было 78 яблок.

Проверка:

Первоначально: 78 яблок и 26 яблок (78 ровно в 3 раза больше 26).

После изменений:

В первой коробке: $78 - 17 = 61$ яблоко.

Во второй коробке: $26 + 35 = 61$ яблоко.

Количество яблок стало равным, значит, задача решена верно.

Ответ: первоначально в одной коробке было 78 яблок, а в другой — 26 яблок.

36.5. Значение суммы двух чисел равно 77. Найдите эти числа, если $\frac{2}{3}$ одного числа составляют 0,8 от другого.

Для решения задачи введем две переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$.

Из условия известно, что сумма этих двух чисел равна 77. Это можно записать в виде первого уравнения:
$x + y = 77$

Второе условие гласит, что $\frac{2}{3}$ одного числа составляют $0,8$ от другого. Запишем это в виде второго уравнения. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,8$ в виде обыкновенной:
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Таким образом, второе уравнение имеет вид:
$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
1) $x + y = 77$
2) $\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y$

Решим эту систему. Сначала выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Умножим обе части второго уравнения на $\frac{3}{2}$, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{4}{5}y \cdot \frac{3}{2}$
$x = \frac{12}{10}y$
$x = \frac{6}{5}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:
$\frac{6}{5}y + y = 77$

Чтобы сложить дроби, представим $y$ как $\frac{5}{5}y$:
$\frac{6}{5}y + \frac{5}{5}y = 77$
$\frac{11}{5}y = 77$

Теперь найдем значение $y$:
$y = 77 \div \frac{11}{5}$
$y = 77 \cdot \frac{5}{11}$
$y = \frac{77 \cdot 5}{11}$
Сократим 77 и 11 на 11:
$y = 7 \cdot 5 = 35$

Итак, одно из чисел равно 35. Теперь найдем второе число, $x$, подставив значение $y=35$ в первое уравнение:
$x + 35 = 77$
$x = 77 - 35$
$x = 42$

Следовательно, искомые числа — 42 и 35.

Выполним проверку:
1. Сумма чисел: $42 + 35 = 77$. Условие выполнено.
2. Проверим второе условие: $\frac{2}{3}$ от 42 и $0,8$ от 35.
$\frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot \frac{42}{3} = 2 \cdot 14 = 28$
$0,8 \cdot 35 = \frac{4}{5} \cdot 35 = 4 \cdot \frac{35}{5} = 4 \cdot 7 = 28$
$28 = 28$. Второе условие также выполнено.

Ответ: 42 и 35.

36.6. Цена персиков на 50 тг/кг больше цены абрикосов. Для консервирования компота купили 4 кг персиков и 6 кг абрикосов. По какой цене куплены фрукты, если за всю покупку заплатили 4200 тг?

Для решения задачи введем переменную. Пусть цена 1 кг абрикосов равна $x$ тг.

Из условия известно, что цена персиков на 50 тг/кг больше цены абрикосов, значит, цена 1 кг персиков составляет $(x + 50)$ тг.

Было куплено 4 кг персиков, их стоимость составляет $4 \cdot (x + 50)$ тг.

Также было куплено 6 кг абрикосов, их стоимость составляет $6 \cdot x$ тг.

Общая стоимость всей покупки равна 4200 тг. Составим уравнение, сложив стоимость персиков и абрикосов:

$4 \cdot (x + 50) + 6x = 4200$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x + 200 + 6x = 4200$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 200 = 4200$

Перенесем 200 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$10x = 4200 - 200$

$10x = 4000$

Найдем $x$:

$x = \frac{4000}{10}$

$x = 400$

Итак, мы нашли цену 1 кг абрикосов – она составляет 400 тг.

Теперь найдем цену 1 кг персиков:

$x + 50 = 400 + 50 = 450$ тг.

Проверим правильность решения:

Стоимость 4 кг персиков: $4 \text{ кг} \cdot 450 \text{ тг/кг} = 1800 \text{ тг}$.

Стоимость 6 кг абрикосов: $6 \text{ кг} \cdot 400 \text{ тг/кг} = 2400 \text{ тг}$.

Общая стоимость покупки: $1800 \text{ тг} + 2400 \text{ тг} = 4200 \text{ тг}$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: цена абрикосов – 400 тг/кг, цена персиков – 450 тг/кг.

36.7. Периметр треугольника $ABC$ равен 92 см. Длина стороны $AB$ вдвое меньше длины стороны $BC$ и на 8 см меньше длины стороны $AC$. Какова длина каждой стороны треугольника?

Пусть длина стороны $AB$ равна $x$ см.

Согласно условию, длина стороны $AB$ вдвое меньше длины стороны $BC$. Следовательно, длина стороны $BC$ в два раза больше длины стороны $AB$, то есть $BC = 2x$ см.

Также по условию, длина стороны $AB$ на 8 см меньше длины стороны $AC$. Следовательно, длина стороны $AC$ на 8 см больше длины стороны $AB$, то есть $AC = x + 8$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника $ABC$ равен 92 см. Мы можем составить уравнение:
$AB + BC + AC = 92$
$x + 2x + (x + 8) = 92$

Решим полученное уравнение:
$4x + 8 = 92$
Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:
$4x = 92 - 8$
$4x = 84$
Найдем $x$:
$x = \frac{84}{4}$
$x = 21$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна 21 см.

Теперь вычислим длины остальных сторон:
Длина стороны $BC = 2x = 2 \cdot 21 = 42$ см.
Длина стороны $AC = x + 8 = 21 + 8 = 29$ см.

Проверим результат, сложив длины всех сторон:
$21 \text{ см} + 42 \text{ см} + 29 \text{ см} = 92 \text{ см}.$
Результат совпадает с периметром, указанным в условии.

Ответ: длина стороны $AB$ – 21 см, длина стороны $BC$ – 42 см, длина стороны $AC$ – 29 см.

36.8. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Это расстояние катер проплывает по течению за 4 ч, против течения за 5 ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера как $v_c$ (в км/ч), а скорость течения реки как $v_p$ (в км/ч).

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч} = v_c + v_p$. Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр\;теч} = v_c - v_p$.

Из условия задачи известно, что расстояние $S = 80$ км. Время движения по течению составляет 4 часа, а против течения — 5 часов.

1. Вычислим скорость катера по течению, используя формулу скорости $v = S / t$ :
$v_{по\;теч} = 80 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 20 \text{ км/ч}$.

2. Вычислим скорость катера против течения:
$v_{пр\;теч} = 80 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 16 \text{ км/ч}$.

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} v_c + v_p = 20 \\ v_c - v_p = 16 \end{cases}$

4. Чтобы найти собственную скорость катера $v_c$, сложим оба уравнения системы:
$(v_c + v_p) + (v_c - v_p) = 20 + 16$
$2v_c = 36$
$v_c = 36 / 2 = 18$

5. Чтобы найти скорость течения реки $v_p$, подставим найденное значение $v_c$ в первое уравнение:
$18 + v_p = 20$
$v_p = 20 - 18 = 2$

Собственная скорость катера
На основе проведенных вычислений, собственная скорость катера составляет 18 км/ч.
Ответ: 18 км/ч.

Скорость течения реки
На основе проведенных вычислений, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.

36.9. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый пешеход вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2 ч 30 мин после выхода второго. Найдите скорость второго пешехода.

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода в км/ч, а $v_2$ — скорость второго пешехода в км/ч.Расстояние между пунктами А и В равно $S = 30$ км.

Для начала, переведем время в часы:
3 ч 20 мин = $3 + \frac{20}{60}$ ч = $3 + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{10}{3}$ ч.
2 ч 30 мин = $2 + \frac{30}{60}$ ч = $2 + \frac{1}{2}$ ч = $2.5$ ч.

Рассмотрим первую ситуацию: два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через $\frac{10}{3}$ часа.При движении навстречу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_1 + v_2$.За время $t_1 = \frac{10}{3}$ ч они вместе прошли расстояние $S = 30$ км.Составим первое уравнение:$(v_1 + v_2) \cdot t_1 = S$
$(v_1 + v_2) \cdot \frac{10}{3} = 30$
$v_1 + v_2 = 30 \cdot \frac{3}{10}$
$v_1 + v_2 = 9$

Рассмотрим вторую ситуацию: первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго. Встреча произошла через 2.5 часа после выхода второго.Это означает, что до момента встречи первый пешеход был в пути $2 + 2.5 = 4.5$ часа, а второй пешеход был в пути $2.5$ часа.Расстояние, пройденное первым пешеходом: $S_1 = v_1 \cdot 4.5$.Расстояние, пройденное вторым пешеходом: $S_2 = v_2 \cdot 2.5$.Вместе они прошли все расстояние $S = 30$ км.Составим второе уравнение:$S_1 + S_2 = S$
$4.5v_1 + 2.5v_2 = 30$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:$9v_1 + 5v_2 = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ 9v_1 + 5v_2 = 60 \end{cases}$

Выразим $v_1$ из первого уравнения:$v_1 = 9 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:$9(9 - v_2) + 5v_2 = 60$
$81 - 9v_2 + 5v_2 = 60$
$81 - 4v_2 = 60$
$4v_2 = 81 - 60$
$4v_2 = 21$
$v_2 = \frac{21}{4}$
$v_2 = 5.25$

Таким образом, скорость второго пешехода равна 5.25 км/ч.

Ответ: 5.25 км/ч.

36.10. Двое рабочих вместе изготовили 678 деталей. Первый рабочий работал 8 дней, второй 11 дней. Найдите число деталей, изготовленных каждым рабочим за день, если второй за каждые 4 дня выполнял на 22 детали больше, чем первый за 3 дня.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготавливает первый рабочий за один день, а $y$ — количество деталей, которое изготавливает второй рабочий за один день.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему уравнений. Первый рабочий работал 8 дней, а второй — 11 дней. Вместе они изготовили 678 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$8x + 11y = 678$

Также известно, что второй рабочий за 4 дня изготавливает на 22 детали больше, чем первый за 3 дня. Количество деталей, изготовленных вторым рабочим за 4 дня, равно $4y$. Количество деталей, изготовленных первым рабочим за 3 дня, равно $3x$. Это условие можно записать в виде второго уравнения:

$4y = 3x + 22$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases} 8x + 11y = 678 \\ 4y = 3x + 22\end{cases}$$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$3x = 4y - 22$

$x = \frac{4y - 22}{3}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$8 \left( \frac{4y - 22}{3} \right) + 11y = 678$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:

$8(4y - 22) + 3 \cdot 11y = 678 \cdot 3$

$32y - 176 + 33y = 2034$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$65y - 176 = 2034$

$65y = 2034 + 176$

$65y = 2210$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{2210}{65} = 34$

Таким образом, второй рабочий изготавливает 34 детали в день.

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив 34 в выражение для $x$:

$x = \frac{4 \cdot 34 - 22}{3} = \frac{136 - 22}{3} = \frac{114}{3} = 38$

Следовательно, первый рабочий изготавливает 38 деталей в день.

Проверим правильность решения. Общее количество деталей: $8 \cdot 38 + 11 \cdot 34 = 304 + 374 = 678$ деталей. Условие выполняется. Сравним производительность: второй рабочий за 4 дня изготовил $4 \cdot 34 = 136$ деталей, а первый за 3 дня — $3 \cdot 38 = 114$ деталей. Разница составляет $136 - 114 = 22$ детали, что также соответствует условию задачи.

Ответ: первый рабочий изготавливал 38 деталей в день, второй рабочий изготавливал 34 детали в день.

36.11. Три бригады рабочих изготовили за смену 96 деталей. Первая бригада изготовила на 18 деталей больше, чем вторая, третья бригада изготовила $ \frac{5}{11} $ того количества деталей, что изготовила первая и вторая бригады вместе.

1) Сколько деталей изготовила каждая бригада?

2) Если за изготовление деталей рабочий получает 56 тг/дет., то какую сумму заработал каждый из них?

3) На сколько процентов заработок за смену первого рабочего больше заработка третьего рабочего?

1) Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Обозначим количество деталей, изготовленных первой, второй и третьей бригадами как $x_1$, $x_2$ и $x_3$ соответственно. Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Общее количество деталей: $x_1 + x_2 + x_3 = 96$
2. Отношение между первой и второй бригадами: $x_1 = x_2 + 18$
3. Отношение третьей бригады к первым двум: $x_3 = \frac{5}{11}(x_1 + x_2)$

Выразим все переменные через $x_2$. Для этого сначала подставим выражение для $x_1$ из второго уравнения в третье:
$x_3 = \frac{5}{11}((x_2 + 18) + x_2) = \frac{5}{11}(2x_2 + 18)$

Теперь подставим выражения для $x_1$ и $x_3$ в первое уравнение:
$(x_2 + 18) + x_2 + \frac{5}{11}(2x_2 + 18) = 96$
Упростим уравнение, вынеся общий множитель $(2x_2 + 18)$:
$(1 + \frac{5}{11})(2x_2 + 18) = 96$
$\frac{16}{11}(2x_2 + 18) = 96$
Теперь найдем значение выражения в скобках:
$2x_2 + 18 = 96 \cdot \frac{11}{16} = 6 \cdot 11 = 66$
Найдем $x_2$:
$2x_2 = 66 - 18 \Rightarrow 2x_2 = 48 \Rightarrow x_2 = 24$
Таким образом, вторая бригада изготовила 24 детали.
Теперь найдем количество деталей для первой и третьей бригад:
$x_1 = x_2 + 18 = 24 + 18 = 42$ (детали)
$x_3 = 96 - x_1 - x_2 = 96 - 42 - 24 = 30$ (деталей)
Для проверки можно использовать третье уравнение: $x_3 = \frac{5}{11}(42 + 24) = \frac{5}{11}(66) = 30$. Всё сходится.

Ответ: первая бригада изготовила 42 детали, вторая — 24 детали, третья — 30 деталей.

2) Если за изготовление деталей рабочий получает 56 тг/дет., то какую сумму заработал каждый из них?

Для расчета заработка каждой бригады (подразумевая, что "каждый из них" относится к бригадам) умножим количество изготовленных деталей на стоимость одной детали, равную 56 тг.
Заработок первой бригады: $42 \text{ дет.} \cdot 56 \text{ тг/дет.} = 2352 \text{ тг}$
Заработок второй бригады: $24 \text{ дет.} \cdot 56 \text{ тг/дет.} = 1344 \text{ тг}$
Заработок третьей бригады: $30 \text{ дет.} \cdot 56 \text{ тг/дет.} = 1680 \text{ тг}$

Ответ: первая бригада заработала 2352 тг, вторая — 1344 тг, третья — 1680 тг.

3) На сколько процентов заработок за смену первого рабочего больше заработка третьего рабочего?

Чтобы найти, на сколько процентов заработок первой бригады ("первого рабочего") больше заработка третьей ("третьего рабочего"), нужно найти разницу в их заработках, разделить ее на заработок третьей бригады и умножить на 100%.
$\text{Процентное увеличение} = \frac{\text{Заработок}_1 - \text{Заработок}_3}{\text{Заработок}_3} \cdot 100\%$
Так как заработок прямо пропорционален количеству произведенных деталей, для удобства расчета можно использовать количество деталей, изготовленных первой и третьей бригадами (42 и 30 соответственно).
$\frac{42 - 30}{30} \cdot 100\% = \frac{12}{30} \cdot 100\% = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$
Проверка с использованием денежных сумм дает тот же результат:
$\frac{2352 - 1680}{1680} \cdot 100\% = \frac{672}{1680} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: заработок за смену первого рабочего на 40% больше заработка третьего рабочего.